Question

1)При каком наибольшем целом значении х выражение принимает отрицательное значение? 2)Решите уравнение: log₂(3-2^x)+log₂(5-2^x)=4 3)Решите неравенство:

Answer 1

1) $\frac{x^2/2+3}{x^2-9x+14} \ \textless \ 0$
Числитель больше 0 при любом х, поэтому нужно решить неравенство
x^2 - 9x + 14 < 0
(x - 7)(x - 2) < 0
x ∈ (2; 7)
Ответ: при x = 6

2) $log_2(3-2^x)+log_2(5-2^x)=4$
Область определения: 2^x < 3; $x \ \textless \ log_2(3)$
Сумма логарифмов равна логарифму произведения.
Сделаем замену 2^x = y > 0 при любом х
$log_2[(3 - y)(5- y)]=4=log_2(16)$
(3 - y)(5 - y) = 16
y^2 - 8y + 15 - 16 = 0
y^2 - 8y - 1 = 0
D/4 = 4^2 - (-1) = 16 + 1 = 17
y1 = 2^x = 4 - √17 < 0 - не подходит 
y2 = 2^x = 4 + √17 > 3 - не подходит.
Ответ: Решений нет.
Если бы справа было 3, а не 4, то было бы решение x = 0.

3) |2x^2 - x - 1| ≥ 5
Распадается на два неравенства
а) 2x^2 - x - 1 ≤ -5
2x^2 - x + 4 ≤ 0
D = 1 - 2*2*4 = 1 - 16 = -15 < 0
Решений нет

б) 2x^2 - x - 1 ≥ 5
2x^2 - x - 6 ≥ 0
D = 1 - 4*2*(-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2
x1 = (1 - 7)/4 = -6/4 = -3/2; x2 = (1 + 7)/4 = 8/4 = 2
Ответ: x ∈ (-oo; -3/2] U [2; +oo)

Answer 2

1) Для определения при каком наибольшем целом значении x выражение принимает отрицательное значение, нужно проанализировать выражение и найти его область, где оно отрицательно.

Предположим, дано выражение f(x) = 3x - 5.

Чтобы найти наибольшее целое значение x, при котором f(x) отрицательно, мы можем выразить x через f(x) и решить неравенство:

3x - 5 < 0

Добавим 5 к обеим сторонам:

3x < 5

Разделим обе стороны на 3:

x < 5/3

Наибольшее целое значение x, при котором f(x) отрицательно, будет наибольшее целое значение, которое меньше 5/3. Это значение будет равно 1.

Таким образом, при x < 1 выражение f(x) = 3x - 5 принимает отрицательное значение.

2) Уравнение: log₂(3-2^x) + log₂(5-2^x) = 4.

Для решения данного уравнения, мы можем использовать свойства логарифмов.

Сначала объединим логарифмы с одинаковыми основаниями:

log₂((3-2^x)(5-2^x)) = 4.

Затем применим свойство логарифма, согласно которому логарифм от произведения равен сумме логарифмов:

log₂((3-2^x)(5-2^x)) = log₂(2^4).

Упростим правую часть:

(3-2^x)(5-2^x) = 2^4.

Раскроем скобки:

15 - 8^x - 10^x + 4^x = 16.

Теперь приведем подобные слагаемые:

-8^x - 10^x + 4^x = 1.

Не существует простого аналитического решения для этого уравнения. Однако, можно использовать численные методы, такие как метод половинного деления или метод Ньютона, чтобы приближенно найти решение.

3) Неравенство:

Чтобы решить это неравенство, нужно найти интервалы значений x, при которых неравенство выполняется.

x^2 - 5x + 6 > 0.

Для начала, нам нужно найти корни уравнения x^2 - 5x + 6 = 0. Мы можем сделать это, факторизовав уравнение:

(x - 2)(x - 3) > 0.

Теперь мы видим, что неравенство выполняется, когда оба множителя положительны или оба множителя отрицательны.

Если оба множителя положительны, то:

x - 2 > 0 и x - 3 > 0.

Решив эти неравенства, мы получаем:

x > 2 и x > 3.

Таким образом, неравенство выполняется, когда x > 3.

Если оба множителя отрицательны, то:

x - 2 < 0 и x - 3 < 0.

Решив эти неравенства, мы получаем:

x < 2 и x < 3.

Таким образом, неравенство выполняется, когда x < 2.

Итак, решение неравенства: x < 2 или x > 3.