Question

Даны вершины треугольника АВС; А(-3;-3), В(5;-7), С(7;7)Найти:в) уравнение медианы АМ;г) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН;д) уравнение прямои, проходящую через вершину С параллельную стороне АВ;е) расстояние от точки С до прямой АВ.

Answer 1

Всё решаем по формулам...

Answer 2

Для решения задачи, давайте последовательно выполним каждый из пунктов:

а) Уравнение медианы \(AM\) можно найти, используя координаты вершин треугольника. Медиана \(AM\) проходит через вершину \(A\) и середину стороны \(BC\). Найдем координаты середины стороны \(BC\).

Координаты вершины \(A(-3, -3)\).

Координаты вершины \(B(5, -7)\).

Координаты вершины \(C(7, 7)\).

Координаты середины стороны \(BC\) будут средними значениями соответствующих координат:

\[ M\left(\frac{{B_x + C_x}}{2}, \frac{{B_y + C_y}}{2}\right)\]

\[ M\left(\frac{{5 + 7}}{2}, \frac{{-7 + 7}}{2}\right) = (6, 0)\]

Теперь у нас есть координаты двух точек: \(A(-3, -3)\) и \(M(6, 0)\). Медиана \(AM\) будет проходить через эти точки, и мы можем использовать их, чтобы найти уравнение прямой в форме \(y = mx + b\), где \(m\) - угловой коэффициент, \(b\) - свободный член.

Угловой коэффициент \(m\) можно найти по формуле:

\[ m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]

\[ m = \frac{{0 - (-3)}}{{6 - (-3)}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\]

Теперь, используя одну из точек (например, \(A(-3, -3)\)), можем найти свободный член \(b\):

\[ -3 = \frac{1}{3} \cdot (-3) + b\]

\[ -3 = -1 + b\]

\[ b = -2\]

Таким образом, уравнение медианы \(AM\) имеет вид \(y = \frac{1}{3}x - 2\).

б) Точка \(N\) пересечения медианы \(AM\) и высоты \(CH\) будет являться центром тяжести треугольника. Координаты центра тяжести можно найти как среднее арифметическое координат вершин треугольника:

\[ N\left(\frac{{A_x + B_x + C_x}}{3}, \frac{{A_y + B_y + C_y}}{3}\right)\]

\[ N\left(\frac{{-3 + 5 + 7}}{3}, \frac{{-3 + (-7) + 7}}{3}\right)\]

\[ N\left(\frac{9}{3}, 0\right)\]

\[ N(3, 0)\]

Таким образом, точка \(N\) имеет координаты \(N(3, 0)\).

в) Уравнение прямой, проходящей через вершину \(C\) и параллельной стороне \(AB\), можно найти, зная, что угловой коэффициент параллельных прямых одинаков:

\[ m_{AB} = \frac{{y_B - y_A}}{{x_B - x_A}} = \frac{{(-7) - (-3)}}{{5 - (-3)}} = \frac{{-4}}{{8}} = -\frac{1}{2}\]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через \(C(7, 7)\) и параллельной \(AB\), будет иметь вид:

\[y - y_C = m_{AB} \cdot (x - x_C)\]

\[y - 7 = -\frac{1}{2} \cdot (x - 7)\]

\[y - 7 = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}\]

\[y = -\frac{1}{2}x + \frac{21}{2}\]

г) Расстояние от точки \(C\) до прямой \(AB\) можно найти, используя формулу для расстояния между точкой \((x_0, y_0)\) и прямой \(Ax + By + C = 0\):

\[d = \frac{{\left|Ax_0 + By_0 + C\right|}}{{\sqrt{A^2 + B^2}}}\]

Уравнение прямой \(AB\) имеет вид \(y = mx + b\), где \(m = \frac{{y_B - y_A}}{{x_B - x_A}}\) и \(b\) мы уже нашли в пункте (а).

Уравнение прямой \(AB\): \(y = \frac{1}{3}x - 2\).

Теперь подставим координаты точки \(C(7, 7)\) и коэффициенты уравнения прямой в формулу для расстояния:

\[d = \frac{{\left|\frac{1}{3}(7) - 7 - 2\right|}}{{\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 1^2}}}\]

\[d = \frac{{\left|\frac{7}{3} - 7 - 2\right|}}{{\sqrt{\frac{1}{9} + 1}}}\]

\[d = \frac{{\left|\frac{7}{3} - 9\right|}}{{\sqrt{\frac{10}{9}}}}\]

\[d = \frac{{\left|\frac{-2}{3}\right|}}{{\frac{\sqrt{10}}{3}}}\]

\[d = \frac{2}{\sqrt{10}} \cdot \frac{3}{3}\]

\[d = \frac{6}{\sqrt{10}}\]

Таким образом, расстояние от точки \(C\) до прямой \(