Question

найти наибольшее двузначное число n при котором остаток от деления числа 3 в степени n на 7 равен 5, если такое число существует

Answer 1

В теории чисел (делимость и сравнение по модулю) доказывается, что остатки от деления повторяются с некоторым периодом.

В данной задаче остатки от деления числа 3^n на 7 при увеличении n повторяются с периодом 6:

первое число, при делении на 7 дающее в остатке 5, это  число 243 (при n=5), следующее 177147 (при n=11) и т.д.

Подробнее:

n=5      3^n=243=34*7+5

n=11    3^n=177147=25306*7+5

n=17    3^n=...

n=23    3^n=...

...

Можем записать

$3^(5+6k)=N*7+5$

где k=0,1,2,3,4,...

По условию задачи n-двузначное число, следовательно

$5+6k \leq 99$

отсюда максимально возможное значение k=15

n=5+6*15=95

 

Ответ: наибольшее двузначное число n=95

 

 

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем перебрать все возможные значения для числа n и проверять, выполняется ли условие, что остаток от деления числа 3 в степени n на 7 равен 5.

Так как мы ищем наибольшее двузначное число n, мы можем начать перебор с числа 99 и уменьшать его на 1 до тех пор, пока не найдем число, удовлетворяющее условию.

Ниже приведена программа на языке Python, которая ищет наибольшее двузначное число n, удовлетворяющее условию:

n = 99

while n >= 10:
    if (3 ** n) % 7 == 5:
        print("Наибольшее двузначное число n:", n)
        break
    n -= 1

В данной программе мы используем цикл while для перебора всех возможных значений для числа n, начиная с 99 и уменьшая его на 1 на каждой итерации. Внутри цикла мы проверяем, выполняется ли условие (3 ** n) % 7 == 5. Если условие выполняется, то мы выводим наибольшее двузначное число n и прерываем цикл с помощью оператора break.

Выполнив данную программу, мы получим наибольшее двузначное число n, при котором остаток от деления числа 3 в степени n на 7 равен 5.