Question

Решите уравнение: x^2 + y^2 + z^2 -2x + 4y + 5 = 0

Answer 1

$x^2+ y^2 + z^2 -2x + 4y + 5 = 0$

$x^2-2x+1+y^2+4y+4+z^2=0$

$(x-1)^2+(y+2)^2+z^2=0$

Так как все три слагаемых являются квадратами, а их сумма равна 0, то каждое из слагаемых в свою очередь также равно 0.

$\begin{cases} (x-1)^2=0\\(y+2)^2=0\\z^2=0 \end{cases}$

$\begin{cases} x-1=0\\y+2=0\\z=0 \end{cases}$

$\begin{cases} x=1\\y=-2\\z=0 \end{cases}$

Ответ: (1;-2;0)

Answer 2

Давайте решим данное уравнение по очереди.

Сначала перепишем уравнение в более удобной форме:

x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 5 = 0

Для начала рассмотрим переменные x и y. Обратим внимание, что уравнение содержит квадраты x и y, что намекает на то, что оно является уравнением окружности или сферы. Для этого приведем уравнение к каноническому виду окружности.

Для этого выделим члены, содержащие переменные x и y:

(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) + z^2 + 5 = 0

Теперь добавим недостающие члены, чтобы завершить квадратные выражения:

(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) + z^2 + 5 = 1 + 4

Приведем полученное выражение к каноническому виду окружности:

(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 10

Таким образом, уравнение представляет собой сферу с центром в точке (1, -2, 0) и радиусом sqrt(10).

Решение:

Уравнение имеет вид: (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 10