Question

Найдите целочисленные неравенства: 2х^2/5-x^2 меньше или равно 2х-x^2/x^2-5

Answer 1

 2х² ≤ 2х-х²
5-х²    х²-5
  
   2х²  -  2х-х² ≤0
  5-х²     х²-5
 
   2х² + 2х-х² ≤ 0
   5-х²   5-х²
 
    2х²-х²+2х  ≤ 0
        5-х²
 
     х²+2х ≤0
     5-х²

{5-x²≠0
{(x²+2x)(5-x²)≤0

5-x²≠0
(√5-x)(√5+x)≠0
x≠√5
x≠-√5

(x²+2x)(5-x²)≤0
-x(x+2)(x²-5)≤0
x(x+2)(x-√5)(x+√5)≥0
x=0   x=-2     x=√5     x=-√5
        +            -             +               -              +
---------- -√5 ------- -2 --------- 0 ---------- √5 ----------
\\\\\\\\\                        \\\\\\\\\\                       \\\\\\\\\\\\
x∈(-∞; -√5)∨[-2; 0]∨(√5; +∞)
х={....;  -5; -4; -3; -2; -1; 0; 3; 4; 5; .....} - целочисленные решения неравенства

Answer 2

Прежде чем начать решать неравенство, возможно стоит вначале упростить его. Распишем все выражения в неравенстве:

2х^2/5 - x^2 ≤ 2х - x^2/(x^2 - 5)

Для начала заметим, что знаменатель в правой части неравенства не может быть равен нулю, так как деление на ноль запрещено. Следовательно, x^2 - 5 ≠ 0, или, что эквивалентно, x ≠ ±√5.

Теперь можно упростить неравенство, избавившись от знаменателя в правой части. Для этого домножим обе части неравенства на x^2 - 5:

(2х^2/5 - x^2)(x^2 - 5) ≤ (2х - x^2)(x^2 - 5)/(x^2 - 5)

После сокращений получаем:

2х^2(x^2 - 5)/5 - (x^2)(x^2 - 5) ≤ 2х(x^2 - 5) - x^2

Заметим, что (x^2 - 5) сократится в каждом слагаемом:

2х^2 - 10х^2/5 - x^4 + 5x^2 ≤ 2х(x^2 - 5) - x^2

Упростим выражение:

2х^2 - 2х^2 - x^4 + 5x^2 ≤ 2х^3 - 10x - x^2

Сократим подобные слагаемые:

5x^2 - x^4 ≤ 2х^3 - 11x^2

Перенесем все члены влево:

0 ≤ x^4 - 4x^2 + 11x^2 - 2х^3

0 ≤ x^4 - 4x^2 + 11x^2 - 2х^3

Дата первоначальной неравенствому x ≠ ±√5, это означает, что мы лишь рассматриваем значения x, для которых выполняется неравенства x^2 - 5 > 0, или x^2 > 5.

Также заметим, что x^2(x^2 - 4) ≤ 0. Такое неравенство выполняется, только если x находится в пределах интервала [-2, 2].

Теперь мы можем рассмотреть возможные комбинации положительных и отрицательных значений x и решить неравенство:

1) Если x < -2, тогда оба множителя x^2 и (x^2 - 4) отрицательны, иначе говоря будет всегда выполняться x^2(x^2 - 4) > 0. Таким образом, в этом случае левая часть неравенства неположительна, 0 ≤ x^4 - 4x^2 + 11x^2 - 2х^3 ≤ 0.

2) Если -2 ≤ x ≤ 2, тогда x^2 положительный, а (x^2 - 4) отрицательный. В результате x^2(x^2 - 4) будет отрицательным, следовательно, нижнее и верхнее пределы неравенства не могут быть равны нулю, и оба множителя дают отрицательные значения. В этом случае неравенство не выполняется.

3) Если x > 2, тогда оба множителя x^2 и (x^2 - 4) положительны, иначе говоря будет всегда выполняться x^2(x^2 - 4) > 0. Таким образом, в этом случае левая часть неравенства неположительна, 0 ≤ x^4 - 4x^2 + 11x^2 - 2х^3 ≤ 0.

Таким образом, целочисленное неравенство 2х^2/5 - x^2 ≤ 2х - x^2/(x^2 - 5) имеет решение для x < -2 и x > 2, а при -2 ≤ x ≤ 2 неравенство не выполняется.