Question

Помогите с системами(Х³+1)(У³+1)=18ХУ+Х+У=5И вот еще одна25Х²-4У²=123/(5Х+2У) + 4/(5Х-2У) =2

Answer 1

№1.
$\left \{ {{(xy)^{3}+x ^{3} + y ^{3}+1 =18} \atop {xy=5-(x+y)}} \right.$

Обозначим  (х+у)= u,   (xy)=v
x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)=(x+y)·((x+y)²-3xy)
$\left \{ {{v ^{3}+u(u ^{2} -3v) =17} \atop {v-u=5}} \right.$
Выразим из второго уравнения
v=5-u
и подставим в первое уравнение:
(5-u)³+u³-3u·(5-u)=17,
125-75u+15u²-u³+u³-15u+3u²=17
18u²-90u+108=0
u²-5u+6=0
D=5²-4·6=25-24=1
u₁=(5-1)/2=2     или  u₂=(5+1)/2=3
тогда
v₁=5-u₁=5-2=3  или  v₂=5-u₂=5-3=2

$\left \{ {{x+y=2} \atop {xy=3}} \right.$
или
$\left \{ {{x+y=3} \atop {xy=2}} \right.$

В первой системе выразим y=2-x из первого уравнения и подставим во второе:
x·(2-x)=3  или  х²- 2х+3=0 уравнение не имеет корней, так как D=4-12<0

Во второй системе выразим y=3-x и подставим во второе:
х(3-х)=2,
х²-3х+2=0
D=(-3)²-4·2=9-8=1
x₁=(3-1)/2=1  или х₂ = (3+1)/2=2
тогда
у₁=3-х₁=3-1=2    или у₂=3-х₂=3-2=1
Ответ. (1;2) (2;1)
№ 2
Так как 25х²-4у²=(5х-2у)(5х+2у), то сделаем замену переменной
(5х+2у)=u
(5x-2y)=v
Решаем систему
$\left \{ {{u\cdot v=12} \atop { \frac{3}{u} + \frac{4}{v} =2}} \right. \Rightarrow \left \{ {{uv=12} \atop { \frac{3v+4u}{uv} =2}} \right. \Rightarrow \left \{ {{uv=12} \atop {4u+3v=2\cdot12}} \right.$
Выразим из второго уравнения u=(24-3v)/4      и подставим в первое
(24-3v)v/4=12
или
24v-3v²-48=0
v²-8v+16=0
(v-4)²=0
v=4
тогда u=(24-3v)/4=(24-12)/4=12/4=3

Решаем систему:
$\left \{ {{5x+2y=3} \atop {5x-2y=4}} \right.$
Складываем уравнения:
10х=7
х=0,7
y=(3-5x)/2=(3-3,5)/2=-0,25
Ответ. (0,7 ; -0,25)

Answer 2

Для решения данной системы уравнений, начнем с первого уравнения: (Х³+1)(У³+1)=18ХУ.

Разложим левую часть этого уравнения:

Х³У³ + Х³ + У³ + 1 = 18ХУ.

Подставим вместо 5 и 2 формулы 5Х+2У и 5Х-2У, получаем:

25Х² - 4У² = 123/(5Х+2У) + 4/(5Х-2У) = 2.

Упростим правую часть следующим образом:

123/(5Х+2У) + 4/(5Х-2У) = (123(5Х-2У) + 4(5Х+2У)) / (5Х+2У)(5Х-2У) = (615Х - 246У + 20Х + 8У) / (5Х+2У)(5Х-2У) = (635Х - 238У) / (5Х+2У)(5Х-2У).

Теперь у нас имеется система из двух уравнений:

Х³У³ + Х³ + У³ + 1 = 18ХУ, (1) 25Х² - 4У² = 635Х - 238У. (2)

Рассмотрим уравнение (2) относительно Х:

25Х² - 635Х = 4У² - 238У.

Теперь запишем выражение в виде квадратного трехчлена:

25Х² - 635Х + (635Х - 4У² + 238У) = 0.

Сократим выражение:

25Х² - 4У² + 238У = 0.

Подставим это выражение в уравнение (1):

(25Х² - 4У² + 238У)(У³ + 1) + Х³ + У³ + 1 = 18ХУ.

Раскроем скобки и приведем подобные:

25Х²У³ + 25Х² + 238У² + 238У + У³ + 1 + Х³ + У³ + 1 = 18ХУ.

Объединим подобные слагаемые:

25Х²У³ + Х³ + 26У³ + 25Х² + 239У² + 239У + 2 = 18ХУ.

Из этого уравнения сложно выразить Х или У явно. Таким образом, исходная система уравнений не имеет четких решений.

Ответ: система уравнений не имеет решений.