Question

решите уравнение log5 x-logx 5=2

Answer 1

Примем log5 x = t , тогда logx 5 = 1/t
Получаем: t+(1/t) = 2
t^2 - 2t - 1 = 0 
D = 8
корни : 1+корень из 2
 1-корень из 2
Возвращаемся к исходному: 
1) log5 x =  1+корень из 2
x= 5^(1+корень из 2)
2)  log5 x = 1-корень из 2
x =5^( 1-корень из 2)

Answer 2

Давайте решим уравнение \(\log_5{x} - \log_x{5} = 2\).

Для решения данного уравнения используем свойства логарифмов. Воспользуемся тем, что \(\log_a{b} - \log_a{c} = \log_a{\frac{b}{c}}\).

Имеем: \[\log_5{x} - \log_x{5} = \log_5{x} - \frac{1}{\log_5{x}} = 2.\]

Обозначим \(\log_5{x}\) как \(u\). Тогда у нас получится квадратное уравнение относительно \(u\): \[u - \frac{1}{u} = 2.\]

Умножим обе стороны на \(u\), чтобы избавиться от дроби: \[u^2 - 1 = 2u.\]

Теперь приведем уравнение к стандартному виду: \[u^2 - 2u - 1 = 0.\]

Для решения этого квадратного уравнения используем формулу дискриминанта: \[D = b^2 - 4ac.\]

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -1\): \[D = (-2)^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8.\]

Так как \(D > 0\), у нас есть два вещественных корня. Используем формулы для нахождения корней: \[u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

\[u_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}.\]

\[u_{1,2} = 1 \pm \sqrt{2}.\]

Теперь, учитывая, что \(u = \log_5{x}\), у нас есть два возможных значения \(\log_5{x}\): \[1 + \sqrt{2} \quad \text{и} \quad 1 - \sqrt{2}.\]

Теперь решим уравнение для каждого значения:

1. Для \(u = 1 + \sqrt{2}\): \[ \log_5{x} = 1 + \sqrt{2}.\] \[ x = 5^{1 + \sqrt{2}}.\]

2. Для \(u = 1 - \sqrt{2}\): \[ \log_5{x} = 1 - \sqrt{2}.\] \[ x = 5^{1 - \sqrt{2}}.\]

Это окончательные ответы. Если вам нужны числовые приближения, вы можете использовать калькулятор для вычисления значений \(5^{1 + \sqrt{2}}\) и \(5^{1 - \sqrt{2}}\).