Question

Найти точки графика функции y=f(x), в которых касательная к нему имеет заданный угловой коэффицент k: a) f(x)=x^2+x, k=3; б) f(x) =1/3x^3+x^2-2x, k=1.

Answer 1

Геометрический смысл производной в точке:
f`(x₀)=k (касательной)

1)
f`(x)=2x+1
f`(x₀)=2x₀+1
k=3
2x₀+1=3
2x₀=2
x₀=1
2)
f`(x)=x²+2x-2
f`(x₀)=x²₀+2x₀-2
k=1
x²₀+2x₀-2=1
x²₀+2x₀-3=0
D=4+12=16
x₀=(-2-4)/2=-3  или  x₀=(-2+4)/2=1

Answer 2

Для нахождения точек графика функции, в которых касательная имеет заданный угловой коэффициент, нам потребуется найти производную функции и использовать ее для нахождения уравнения касательной.

a) Функция f(x) = x^2 + x, k = 3:

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 2x + 1

2. Зная, что угловой коэффициент касательной равен производной функции в данной точке, приравняем производную f'(x) к заданному значению k = 3: 2x + 1 = 3

3. Решим полученное уравнение: 2x = 3 - 1 2x = 2 x = 1

4. Подставим полученное значение x в исходную функцию f(x): f(1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2

Таким образом, точка на графике функции f(x) = x^2 + x, в которой касательная имеет угловой коэффициент k = 3, это (1, 2).

б) Функция f(x) = 1/3x^3 + x^2 - 2x, k = 1:

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = x^2 + 2x - 2

2. Зная, что угловой коэффициент касательной равен производной функции в данной точке, приравняем производную f'(x) к заданному значению k = 1: x^2 + 2x - 2 = 1

3. Решим полученное уравнение: x^2 + 2x - 3 = 0

Факторизуем уравнение: (x + 3)(x - 1) = 0

Таким образом, получаем два значения для x: x = -3 и x = 1.

4. Подставим полученные значения x в исходную функцию f(x): f(-3) = 1/3(-3)^3 + (-3)^2 - 2(-3) = -9 + 9 + 6 = 6 f(1) = 1/3(1)^3 + (1)^2 - 2(1) = 1/3 + 1 - 2 = -4/3

Таким образом, точки на графике функции f(x) = 1/3x^3 + x^2 - 2x, в которых касательная имеет угловой коэффициент k = 1, это (-3, 6) и (1, -4/3).