Question

Найдите экстремумы функций. f(x)= -3x^2 + 13x - 12 и f(x)= 4 - 8x - 5x^2

Answer 1

1) Производная функции вычисляется как производная суммы равна сумме производных

$f'(x)=(-3x^2+13x-12)'=(-3x^2)'+(13x)'-(12)'=\\ \\ =-3\cdot 2x+13\cdot 1-0=-6x+13$

Приравниваем ее к нулю

$-6x+13=0\\ x=\frac{13}{6}$

Так как вторая производная y'' = -6 < 0 точка x = 13/6 - точка максимума (достаточное условие экстремума функции)

2) Аналогично вычисляем производную функции:

$y'=(4-8x-5x^2)'=(4)'-(8x)'-(5x^2)'=-8-10x$

Приравниваем ее к нулю

$-8-10x=0\\ x=-0.8$

Вторая производная функции y'' = (-8-10x)' = -10 < 0, значит точка x = -0.8 это точка максимума (использовано достаточное условие экстремума).

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функций, нам нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю.

1) Для функции f(x) = -3x^2 + 13x - 12: Первоначально найдем производную функции f'(x): f'(x) = -6x + 13

Затем приравняем производную к нулю и решим уравнение: -6x + 13 = 0 -6x = -13 x = -13/(-6) x = 13/6

Таким образом, единственная точка, в которой производная равна нулю, это x = 13/6. Чтобы определить, является ли это максимумом или минимумом, можно проанализировать знак производной вокруг этой точки. Поскольку коэффициент при x^2 является отрицательным (-3), это означает, что функция имеет ветви внизу. При x > 13/6 функция будет убывать, а при x < 13/6 функция будет возрастать. Следовательно, x = 13/6 является точкой локального максимума.

2) Для функции f(x) = 4 - 8x - 5x^2: Аналогично найдем производную функции f'(x): f'(x) = -10x - 8

Приравняем производную к нулю и решим уравнение: -10x - 8 = 0 -10x = 8 x = -8/(-10) x = 4/5

Таким образом, единственная точка, в которой производная равна нулю, это x = 4/5. Рассмотрим знак производной вокруг этой точки. Так как коэффициент при x^2 является отрицательным (-5), это означает, что функция имеет ветви внизу. При x > 4/5 функция будет убывать, а при x < 4/5 функция будет возрастать. Таким образом, x = 4/5 является точкой локального максимума.

В обоих функциях найденная точка является точкой локального максимума.