Question

82. От пристани А отошел плот. Одновременно с ним от пристани В отошла моторная лодка вверх по течению реки, по направлению к А. Найдите собственную скорость лодки, если лодка и плот встретились через 2 ч, а расстояние между пристанями А и Б равно 16 км.83.От пристани А вниз по течению реки отошла лодка, собственная скорость которой 12 км/ч, а через 1 ч вверх по течению отправился катер, собственная скорость которого 18 км/ч. Найдите скорость течения реки, если через 3 ч после выхода лодки расстояние между лодкой и катером составляло 75 км.

Answer 1

82
Пусть Х - скорость течения (равна скорости плота)
У - собственная скорость лодки
у - х - скорость лодки против течения
2*х - расстояние пройденное плотом до места встречи
2*(у - х) - расстояние пройденное лодкой до места встречи

2х + 2(у - х) = 16
2х + 2у - 2х = 16
2у = 16
у = 8 км/ч - собственная скорость лодки.

83
Пусть Х - скорость течения
12 + х - скорость лодки по течению
18 - х - скорость катера против течения
3*(12 + х) - расстояние, пройденное лодкой
2*(18 - х) - расстояние, пройденное катером (вышел на час позже)

3*(12+х) = 2*(18 - х) + 75
36 + 3х = 36 - 2х + 75
5х = 75
х = 75 : 5
х = 15 км/ч - скорость течения

Answer 2

Давайте рассмотрим оба случая.

82. Встреча лодки и плота

Пусть \(V_l\) - скорость лодки, и \(V_p\) - скорость плота. Расстояние между пристанями \(S = 16\) км.

Через 2 часа лодка и плот встречаются, пройдя расстояние \(S\). Учитывая, что расстояние равно сумме пройденных каждым объектом расстояний, можно записать уравнение:

\[2 \cdot V_l + 2 \cdot V_p = S\]

Теперь, учитывая, что лодка движется против течения, а плот - вдоль течения, мы знаем, что скорость лодки относительно воды \(V_{lw} = V_l + V_t\), а скорость плота \(V_{pw} = V_p - V_t\), где \(V_t\) - скорость течения.

Таким образом, уравнение можно переписать:

\[2 \cdot (V_{lw} - V_t) + 2 \cdot (V_{pw} + V_t) = S\]

Раскрываем скобки и подставляем значения:

\[2 \cdot (V_l + V_t) + 2 \cdot (V_p - V_t) = 16\]

\[2V_l + 2V_p + 4V_t - 4V_t = 16\]

\[2V_l + 2V_p = 16\]

Теперь у нас есть уравнение, связывающее скорости лодки и плота:

\[V_l + V_p = 8\]

83. Расстояние между лодкой и катером

Пусть \(V_r\) - скорость течения реки.

Через 3 часа расстояние между лодкой и катером становится 75 км. За это время лодка прошла \(3 \cdot (V_{lr} + V_r)\) (вниз по течению), а катер - \(3 \cdot (V_{kr} - V_r)\) (вверх по течению).

Уравнение для расстояния:

\[3 \cdot (V_{lr} + V_r) + 3 \cdot (V_{kr} - V_r) = 75\]

Теперь подставим выражения для скоростей относительно воды:

\[3 \cdot (V_l + V_r) + 3 \cdot (V_k - V_r) = 75\]

Упростим:

\[3V_l + 3V_k = 75\]

\[V_l + V_k = 25\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[V_l + V_p = 8\]

\[V_l + V_k = 25\]

Решив эту систему, найдем значения скоростей:

\[V_l = \frac{8 + 25}{2} = 16.5\]

Теперь мы можем найти скорость течения реки:

\[V_r = V_l - V_{lw} = 16.5 - 12 = 4.5\]

Таким образом, скорость течения реки составляет 4.5 км/ч.