Question

Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 95-5p. Выручка предприятия за месяц r (тыс. руб.) задается формулой r(p) = q · p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 440 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Answer 1

$q = 95-5p\\ r(p) = q*p = (95-5p)*p = 95p-5p^2\\ r(p) \geq 440\\ 95p-5p^2 \geq 440\\ -5p^2+95p-440 \geq 0\\ p^2-19p+88 \leq 0\\ p \in [8;11]$

Ответ: 11

Answer 2

Для определения наибольшей цены p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 440 тыс. руб., нужно решить неравенство:

r(p) ≥ 440

Зная, что r(p) = q · p, подставим данное выражение:

q · p ≥ 440

Заметим, что q = 95 - 5p, поэтому можем заменить q в неравенстве:

(95 - 5p) · p ≥ 440

Раскроем скобки:

95p - 5p^2 ≥ 440

Перенесем все члены в левую часть и приведем неравенство к квадратичному виду:

5p^2 - 95p + 440 ≤ 0

Теперь нужно найти корни этого квадратного уравнения. Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

Где a = 5, b = -95 и c = 440. Подставим значения:

D = (-95)^2 - 4 * 5 * 440

D = 9025 - 8800

D = 225

Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два корня. Найдем их, используя формулу:

p = (-b ± √D) / (2a)

p1 = (-(-95) + √225) / (2 * 5)

p1 = (95 + 15) / 10

p1 = 110 / 10

p1 = 11

p2 = (-(-95) - √225) / (2 * 5)

p2 = (95 - 15) / 10

p2 = 80 / 10

p2 = 8

Таким образом, наибольшая цена p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 440 тыс. руб., равна 11 тыс. руб.