Question

Знайдіть первісну функції y=4 x^3,графік якої проходить через точку М(-1,2)

Answer 1

y=4 x^3,
F(x)= x⁴+C
если график проходит через точку (-1;2) ,то 
2=(-1)⁴+С ⇒ С=2-1=1 
у=х⁴+1

Answer 2

Для пошуку первісної функції \( y = 4 + x^3 \), спочатку візьмемо похідну цієї функції за змінною \( x \). Похідна функції \( y = 4 + x^3 \) дає нам \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 \).

Тепер, щоб знайти первісну функцію \( y = 4 + x^3 \), ми застосуємо обернену операцію до похідної. Інтегрування \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 \) дозволить нам знайти первісну функцію.

Інтегруючи обидві частини рівняння, отримуємо:

\[ \int \frac{dy}{dx} \, dx = \int 3x^2 \, dx \]

\[ y = \int 3x^2 \, dx \]

Інтегрування \( 3x^2 \) дає нам \( x^3 \), тому:

\[ y = x^3 + C \]

де \( C \) - це довільна константа.

Таким чином, первісна функція \( y = 4 + x^3 \) є \( y = x^3 + C \), де \( C \) - довільна константа.

Знаходження значення константи C

Щоб знайти значення константи \( C \), використаємо дані про точку \( M(-1,2) \), через яку проходить графік функції.

Підставимо значення \( x = -1 \) і \( y = 2 \) в рівняння \( y = x^3 + C \):

\[ 2 = (-1)^3 + C \]

\[ 2 = -1 + C \]

\[ C = 3 \]

Таким чином, первісна функція \( y = 4 + x^3 \), графік якої проходить через точку \( M(-1,2) \), має вигляд:

\[ y = x^3 + 3 \]