Question

Рншить уравнение sin3x + cos3x=(корень из 2)sin x

Answer 1

$1)\; \; sin3x+cos3x=sin3x+sin(\frac{\pi}{2}-x)=\\\\=2sin\frac{3x+\frac{\pi}{2}-3x}{2}\cdot cos\frac{3x-\frac{\pi}{2}+3x}{2}=2sin(\frac{\pi}{4})\cdot cos(3x-\frac{\pi}{4})=\\\\=\sqrt2\cdot cos(3x-\frac{\pi}{4})\\\\\\2)\; \; \sqrt2sinx=\sqrt2cos(\frac{\pi}{2}-x)\\\\3)\; \; \sqrt2cos(3x-\frac{\pi}{4})=\sqrt2cos(\frac{\pi}{2}-x)\\\\cos(3x-\frac{\pi}{4})-cos(\frac{\pi}{2}-x)=0\\\\-2sin(x+\frac{\pi}{8})sin(2x-\frac{3\pi}{8})=0\\\\a)\; \; sin(x+\frac{\pi}{8})=0$

$x+\frac{\pi}{8}=\pi n,\; n\in Z\\\\x=-\frac{\pi}{8}+\pi n,\; n\in Z\\\\b)\; \; sin(2x-\frac{3\pi}{8})=0\\\\2x-\frac{3\pi}{8}=\pi k,\; k\in Z\\\\2x=\frac{3\pi}{8}+\pi k,\; k\in Z\\\\x=\frac{3\pi}{16}+\frac{\pi k}{2},\; k\in Z$

Answer 2

Sin3x+sin(π/2-3x)=√2sinx
2sinπ/4cos(3x-π/4)=√2sinx
√2cos(3x-π/4)-√2cos(π/2-x)=0
√2(cos(3x-π/4)-cos(π/2-x))=0
cos(3x-π/4)-cos(π/2-x)=0
-2sin(x+π/4)sin(2x-3π/4)=0
sin(x+π/4)=0⇒x+π/4=πn⇒x=-π/4+πn
sin(2x-3π/4)=0⇒2x-3π/4=πn⇒2x=3π/4+πn⇒x=3π/8+πn/2

Answer 3

Давайте решим уравнение подробно. Имеем уравнение:

\[ \sin(3x) + \cos(3x) = \sqrt{2} \sin(x) \]

Для упрощения уравнения воспользуемся тригонометрическими тождествами. Заметим, что \(\sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x)\) и \(\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)\). Теперь подставим эти выражения в уравнение:

\[ 3\sin(x) - 4\sin^3(x) + 4\cos^3(x) - 3\cos(x) = \sqrt{2} \sin(x) \]

Теперь объединим все члены синусов и косинусов:

\[ -4\sin^3(x) + 3\sin(x) + 4\cos^3(x) - 3\cos(x) = \sqrt{2} \sin(x) \]

Переносим все члены влево, чтобы получить ноль справа:

\[ -4\sin^3(x) + 3\sin(x) - \sqrt{2} \sin(x) + 4\cos^3(x) - 3\cos(x) = 0 \]

Теперь факторизуем уравнение, чтобы упростить его:

\[ \sin(x)(-4\sin^2(x) + 3 - \sqrt{2}) + \cos(x)(4\cos^2(x) - 3) = 0 \]

Теперь рассмотрим два случая:

1. \(\sin(x) = 0\): Это дает решение \(x = 0\).

2. \(-4\sin^2(x) + 3 - \sqrt{2} = 0\) и \(4\cos^2(x) - 3 = 0\): Решениями этих уравнений будут:

\[ \sin(x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{и} \quad \cos(x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Таким образом, у нас есть еще четыре решения:

\[ x = \frac{\pi}{4}, \quad x = \frac{3\pi}{4}, \quad x = \frac{5\pi}{4}, \quad x = \frac{7\pi}{4} \]

Итак, у уравнения есть общие решения:

\[ x = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \]