Question

Решите уравнения. 1) x^4-22x^2-75=0 2) x^4-14x^2-32=0 3) x^4+3x^2-28=0 4) x^4-4x^2-45=0

Answer 1

$1. \\ x^4-22x^2-75=0 \\ x^2=t \\ \\ t^2-22t-75=0 \\ \frac{D}{4}=121+75=196=14^2 \\ t_{1}= \dfrac{11-14}{1}=-3 \\ t_2=11+14=25 \\ \\x^2=25 \\ x_1=5 \\ x_2=-5 \\ \\ x^2=-3$
нет решений

$2. \\ x^4-14x^2-32=0 \\ x^2= t \\ \\ t^2-14t-32=0\\ t_1+t_2=14 \\ t_1t_2=-32 \\ t_1=-2 \\ t_2=16 \\ \\ x^2=16 \\ x_1=4 \\ x_2=-4 \\ \\ x^2=-2$
нет решений

$3. \\ x^4+3x^2-28=0 \\ x^2=t \\ \\ t^2+3t-28=0 \\ t_1+t_2=-3 \\ t_1t_2=-28 \\ t_1=4 \\ t_2=-7 \\ \\ x^2=4 \\ x_1=2 \\ x_2=-2 \\ \\ x^2=-7$
нет решений

$4. \\ x^4-4x^2-45=0 \\ x^2=t \\ \\ t^2-4t-45=0 \\ t_1+t_2=4 \\ t_1t_2=-45 \\ t_1=9 \\ t_2=-5 \\ \\ x^2=9 \\ x_1=3 \\ x_2=-3 \\ \\ x^2=-5$
нет решений

Answer 2

Давайте решим каждое из данных уравнений по очереди:

1) x^4 - 22x^2 - 75 = 0:

Для решения данного уравнения, мы можем ввести замену, например, заменим x^2 на t. Тогда наше уравнение примет вид:

t^2 - 22t - 75 = 0.

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение общего вида: t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

Применяя эту формулу, получим:

t = (22 ± √(22^2 - 4 * 1 * (-75))) / (2*1).

Вычислив это выражение, получим два значения для t: t1 ≈ 24.66 и t2 ≈ -2.66.

Теперь, вернемся к нашей замене и найдем значения для x: x^2 = 24.66 и x^2 = -2.66. Отсюда получаем четыре значения для x: x1 ≈ √24.66, x2 ≈ -√24.66, x3 ≈ √(-2.66) и x4 ≈ -√(-2.66).

2) x^4 - 14x^2 - 32 = 0:

Процедура решения этого уравнения аналогична первому уравнению. Вводим замену x^2 = t и получаем:

t^2 - 14t - 32 = 0.

Решая это квадратное уравнение, мы получим два значения для t: t1 ≈ 16 и t2 ≈ -2.

Возвращаемся к нашей замене и находим значения для x: x^2 = 16 и x^2 = -2. Отсюда получаем четыре значения для x: x1 ≈ √16, x2 ≈ -√16, x3 ≈ √(-2) и x4 ≈ -√(-2).

3) x^4 + 3x^2 - 28 = 0:

В этом уравнении у нас уже нет линейных членов, поэтому можно сделать замену x^2 = t и получить следующее квадратное уравнение:

t^2 + 3t - 28 = 0.

Решая это квадратное уравнение, мы получим два значения для t: t1 ≈ 4 и t2 ≈ -7.

Возвращаемся к нашей замене и находим значения для x: x^2 = 4 и x^2 = -7. Отсюда получаем четыре значения для x: x1 ≈ √4, x2 ≈ -√4, x3 ≈ √(-7) и x4 ≈ -√(-7).

4) x^4 - 4x^2 - 45 = 0:

Аналогично предыдущим уравнениям, вводим замену x^2 = t и получаем:

t^2 - 4t - 45 = 0.

Решая это квадратное уравнение, мы получим два значения для t: t1 ≈ 9 и t2 ≈ -5.

Возвращаемся к нашей замене и находим значения для x: x^2 = 9 и x^2 = -5. Отсюда получаем четыре значения для x: x1 ≈ √9, x2 ≈ -√9, x3 ≈ √(-5) и x4 ≈ -√(-5).

Итак, мы рассмотрели четыре заданных уравнения и нашли все значения для переменной x.