Question

Докажите, что при любом натуральном значении n выполняется равенство: 1+2+4+8...+2^n-1=2^n-1 (если можно на листочке с полным обьяснением)

Answer 1

Решение смотри в приложении

Answer 2

Доказательство этого равенства можно провести с помощью метода математической индукции.

Базовый шаг:

При n = 1: 1 + 2^1-1 = 1 + 2^0 = 1 + 1 = 2

2^1-1 = 2^0 = 1

При n = 1 равенство выполняется.

Предположение индукции:

Предположим, что для некоторого натурального числа k выполняется равенство: 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^k-1 = 2^k-1

Шаг индукции:

Докажем, что для k+1 также выполняется равенство: 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^k-1 + 2^k = 2^k + 2^k-1

Мы знаем, что сумма первых k членов равна 2^k-1, поэтому заменим эту сумму в левой части равенства: 2^k-1 + 2^k = 2^k + 2^k-1

Объединяя слагаемые, получаем: 2^k-1 + 2^k = 2 * 2^k-1 = 2^k

Таким образом, мы показали, что если равенство выполняется для k, то оно выполняется и для k+1.

Заключение:

Мы доказали, что при любом натуральном значении n выполняется равенство: 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^n-1 = 2^n-1

Это доказательство было выполнено с использованием метода математической индукции, который позволяет установить равенство для любого натурального числа.