Question

Помогите доказать, пользуясь определением монотонных, функций, что функция: А) f(x) =x^2-3 (убывает) на промежутке (-бесконечность; 0] Б) g(x) = 4x-3/x (дробь) (возростает) при любых значениях x(принадлежит) (0; +(бесконечность))

Answer 1

F(x)=x²-3
x∈(-∞;0]
x1=-3⇒f(x1)=27-3=24
x2=-1⇒f(x2)=1-3=-2
x1<x2⇒f(x1)>f(x2)⇒на промежутке (-∞;0] функция убывает

g(x)=(4x-3)/x
x∈(0;∞)
x1=1⇒f(x1)=(4-3)/1=1
x2=3⇒f(x2)=(12-3)/3=3
x2>x1⇒f(x2)>f(x1)⇒на промежутке (0;∞) функция возрастает

Answer 2

Для доказательства монотонности функций, нам нужно использовать их определения и проверить, соответствуют ли они данным определениям.

Доказательство монотонности функции f(x) = x^2 - 3 на промежутке (-∞; 0]

Для начала, определим, что значит функция f(x) убывает на промежутке (-∞; 0]. Функция является убывающей, если для любых двух значений x₁ и x₂ из данного промежутка, где x₁ < x₂, выполняется условие f(x₁) > f(x₂).

Давайте проверим это условие для функции f(x) = x^2 - 3 на промежутке (-∞; 0]:

1. Выберем два значения x₁ и x₂ из промежутка (-∞; 0], где x₁ < x₂. Например, пусть x₁ = -2 и x₂ = -1.

2. Вычислим значения функции f(x₁) и f(x₂):

- Для x₁ = -2, f(x₁) = (-2)^2 - 3 = 1. - Для x₂ = -1, f(x₂) = (-1)^2 - 3 = -2.

3. Сравним значения f(x₁) и f(x₂):

- f(x₁) = 1 > f(x₂) = -2.

Таким образом, мы получили, что для любых двух значений x₁ и x₂ из промежутка (-∞; 0], где x₁ < x₂, выполняется условие f(x₁) > f(x₂). Это означает, что функция f(x) = x^2 - 3 убывает на промежутке (-∞; 0].

Доказательство монотонности функции g(x) = 4x - 3/x при любых значениях x из (0;+∞)

Теперь рассмотрим функцию g(x) = 4x - 3/x и проверим, возрастает ли она при любых значениях x из промежутка (0;+∞). Функция является возрастающей, если для любых двух значений x₁ и x₂ из данного промежутка, где x₁ < x₂, выполняется условие g(x₁) < g(x₂).

Давайте проверим это условие для функции g(x) = 4x - 3/x при любых значениях x из (0;+∞):

1. Выберем два значения x₁ и x₂ из промежутка (0;+∞), где x₁ < x₂. Например, пусть x₁ = 1 и x₂ = 2.

2. Вычислим значения функции g(x₁) и g(x₂):

- Для x₁ = 1, g(x₁) = 4*1 - 3/1 = 1. - Для x₂ = 2, g(x₂) = 4*2 - 3/2 = 8 - 3/2 = 7/2.

3. Сравним значения g(x₁) и g(x₂):

- g(x₁) = 1 < g(x₂) = 7/2.

Таким образом, мы получили, что для любых двух значений x₁ и x₂ из промежутка (0;+∞), где x₁ < x₂, выполняется условие g(x₁) < g(x₂). Это означает, что функция g(x) = 4x - 3/x возрастает при любых значениях x из промежутка (0;+∞).

Вывод

Мы использовали определения убывания и возрастания функций, а также провели проверку для функций f(x) = x^2 - 3 и g(x) = 4x - 3/x. По результатам проверки, мы доказали, что функция f(x) убывает на промежутке (-∞; 0], а функция g(x) возрастает при любых значениях x из промежутка (0;+∞).