Question

Упростите выражение: sin²t·cos²t+sin⁴t / sin²t·cos²t+cos⁴t-1

Answer 1

sin²t·cos²t+sin⁴t / sin²t·cos²t+cos⁴t-1=sin²t(cos²t+sin²t)/[cos²t(sin²t+cos²t)-1]=
=sin²t/(cos²t-1)=sin²t/(-sin²t)=-1

Answer 2

Давайте упростим выражение пошагово.

У вас есть следующее выражение:

\[ \frac{\sin^2 t \cdot \cos^2 t + \sin^4 t}{\sin^2 t \cdot \cos^2 t + \cos^4 t - 1} \]

Шаг 1: Раскроем квадраты.

\[ \frac{\sin^2 t \cdot \cos^2 t + (\sin^2 t)^2}{\sin^2 t \cdot \cos^2 t + (\cos^2 t)^2 - 1} \]

Шаг 2: Объединим подобные члены в числителе и знаменателе.

\[ \frac{\sin^4 t + \sin^2 t \cdot \cos^2 t}{\sin^2 t \cdot \cos^2 t + \cos^4 t - 1} \]

Шаг 3: Разложим \( \sin^4 t \) в сумму квадратов:

\[ \frac{(\sin^2 t)^2 + \sin^2 t \cdot \cos^2 t}{\sin^2 t \cdot \cos^2 t + \cos^4 t - 1} \]

Шаг 4: Вынесем общий множитель \( \sin^2 t \):

\[ \frac{\sin^2 t (\sin^2 t + \cos^2 t)}{\sin^2 t \cdot \cos^2 t + \cos^4 t - 1} \]

Теперь, учитывая, что \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \), выражение становится:

\[ \frac{\sin^2 t}{\sin^2 t \cdot \cos^2 t + \cos^4 t - 1} \]

Шаг 5: Факторизуем знаменатель.

\[ \frac{\sin^2 t}{(\sin^2 t \cdot \cos^2 t - 1) + \cos^4 t} \]

Теперь мы видим, что \( \sin^2 t \cdot \cos^2 t - 1 = -\cos^2 t \cdot \sin^2 t \), так что мы можем заменить это значение:

\[ \frac{\sin^2 t}{-\cos^2 t \cdot \sin^2 t + \cos^4 t + \cos^4 t} \]

Шаг 6: Упростим знаменатель.

\[ \frac{\sin^2 t}{-\cos^2 t \cdot \sin^2 t + 2 \cdot \cos^4 t} \]

Шаг 7: Факторизуем числитель.

\[ \frac{\sin^2 t}{-\cos^2 t \cdot \sin^2 t + 2 \cdot \cos^2 t \cdot \cos^2 t} \]

Теперь выражение упрощено до:

\[ \frac{\sin^2 t}{2 \cdot \cos^2 t - \cos^2 t \cdot \sin^2 t} \]

Таким образом, упрощенное выражение:

\[ \frac{\sin^2 t}{2 \cdot \cos^2 t - \cos^2 t \cdot \sin^2 t} \]