Question

Алгебра. Найдите наибольшее значение функции y=4tgx-4x+π-6 на отрезке [-π/4; π/4].

Answer 1

Решение:
Найдем значение функции на концах заданного отрезка:
y(-π/4)=-4+π+π-6=-10+2π
y(π/4)=4-π+π-6=-2
Найдем стационарные точки принадлежащие заданному отрезку:
y'=4/cos²x-4; y'=0
4/cos²x-4=0
4/cos²x=4
cos²x=1
cosx=1 или cosx=-1
x1=2πn
x2=π+2πn
заданному промежутку принадлежит точка х=0
у (0)=0+π-6=π-6
Итак наибольшее значение y(π/4)=-2

Answer 2

Нахождение наибольшего значения функции

Для нахождения наибольшего значения функции y = 4tgx - 4x + π - 6 на отрезке [-π/4; π/4], мы можем использовать метод дифференцирования. Дифференцирование позволяет найти точки экстремума функции, включая максимумы и минимумы.

Дифференцирование функции

Для начала, давайте возьмем производную функции y = 4tgx - 4x + π - 6 по переменной x. Производная функции позволяет нам найти скорость изменения функции в каждой точке.

Производная функции y = 4tgx - 4x + π - 6 будет равна:

y' = 4sec^2(x) - 4

Нахождение точек экстремума

Чтобы найти точки экстремума функции, мы должны приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение:

4sec^2(x) - 4 = 0

sec^2(x) = 1

sec(x) = ±1

Решение уравнения

Так как sec(x) = 1/cos(x), то уравнение sec(x) = 1 означает, что cos(x) = 1. Это возможно только при x = 0.

Таким образом, у нас есть одна точка экстремума x = 0.

Определение типа экстремума

Чтобы определить, является ли найденная точка экстремума максимумом или минимумом, мы можем проанализировать знак второй производной функции.

Вторая производная функции y'' = 8sec(x)tan(x) будет положительной на отрезке [-π/4; π/4], так как sec(x) > 0 и tan(x) > 0 на этом отрезке.

Таким образом, точка x = 0 является точкой минимума функции y = 4tgx - 4x + π - 6 на отрезке [-π/4; π/4].

Нахождение значения функции в точке минимума

Чтобы найти наибольшее значение функции, мы можем подставить найденную точку экстремума x = 0 в исходную функцию y = 4tgx - 4x + π - 6:

y(0) = 4tg(0) - 4(0) + π - 6

y(0) = 0 - 0 + π - 6

y(0) = π - 6

Таким образом, наибольшее значение функции y = 4tgx - 4x + π - 6 на отрезке [-π/4; π/4] равно π - 6.