Question

Решите уравнение x^3 -4x^2 - x +4 =0

Answer 1

(x³-4x²)-(x-4)=0
x²(x-4)-(x-4)=0
(x-4)(x²-1)=0
(x-4)(x-1)(x+1)=0
x-4=0    x-1=0    x+1=0
x=4       x=1        x=-1

Answer 2

Для решения данного уравнения, нам нужно найти значения переменной x, при которых уравнение будет выполняться. Давайте посмотрим, как мы можем это сделать.

Анализ уравнения

Уравнение x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0 является кубическим уравнением, так как степень переменной x в нем равна 3. Кубические уравнения могут иметь различные способы решения, включая аналитические и численные методы.

Решение уравнения

Для начала, давайте попробуем найти рациональные корни этого уравнения. Для этого мы можем использовать рациональный корень теоремы, которая гласит, что если у уравнения есть рациональный корень в виде p/q (где p и q - взаимно простые целые числа), то p должно быть делителем свободного члена (в данном случае 4), а q должно быть делителем старшего коэффициента (в данном случае 1).

Поделим 4 на 1, чтобы найти все возможные рациональные корни. Все делители числа 4 равны: ±1, ±2, ±4. Делители числа 1 равны: ±1.

Таким образом, мы получаем следующие возможные рациональные корни: ±1, ±2, ±4.

Проверка рациональных корней

Далее, мы проверяем каждый из этих возможных рациональных корней, подставляя их в уравнение и проверяя, выполняется ли равенство.

Подставляя x = 1, получаем: (1)^3 - 4(1)^2 - (1) + 4 = 1 - 4 - 1 + 4 = 0 Уравнение выполняется при x = 1.

Подставляя x = -1, получаем: (-1)^3 - 4(-1)^2 - (-1) + 4 = -1 - 4 + 1 + 4 = 0 Уравнение выполняется при x = -1.

Подставляя x = 2, получаем: (2)^3 - 4(2)^2 - (2) + 4 = 8 - 16 - 2 + 4 = -6 Уравнение не выполняется при x = 2.

Подставляя x = -2, получаем: (-2)^3 - 4(-2)^2 - (-2) + 4 = -8 - 16 + 2 + 4 = -18 Уравнение не выполняется при x = -2.

Подставляя x = 4, получаем: (4)^3 - 4(4)^2 - (4) + 4 = 64 - 64 - 4 + 4 = 0 Уравнение выполняется при x = 4.

Подставляя x = -4, получаем: (-4)^3 - 4(-4)^2 - (-4) + 4 = -64 - 64 + 4 + 4 = -120 Уравнение не выполняется при x = -4.

Итак, мы нашли два рациональных корня, при которых уравнение выполняется: x = 1 и x = -1.

Дальнейшие шаги

Так как данное кубическое уравнение имеет степень 3, мы ожидаем, что оно имеет еще один корень. Для нахождения остальных корней, можно использовать различные методы, такие как метод Ньютона или метод деления пополам. Однако, я могу предложить вам численное решение с помощью Python, если вам будет это интересно.

Пример решения уравнения в Python:

import numpy as np

# Определение функции
def equation(x):
    return x3 - 4*x2 - x + 4

# Решение уравнения численным методом
solutions = np.roots([1, -4, -1, 4])

# Вывод решений
print("Корни уравнения:", solutions)

Запустив этот код в Python, вы получите все три корня уравнения: [1, -1, 4].

Ответ

Таким образом, уравнение x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0 имеет три корня: x = 1, x = -1 и x = 4.