Question

1.найдите остаток при делении 73^37 на 7 2.найдите остаток при делении числа 19^20+21 на 55 3.Найдите такое наибольшее натуральное n , меньше 2015, что число 3 n , его квадрат и куб дают одинаковые остатки при делении на 7.

Answer 1

1)
73^37=(7*10+3)^37=7*A+3^37
3^37=3*9^18=3*(7+2)^18=7*B+3*2^18
3*2^18 = 3*8^6 = 3*(7+1)^6 = 7*C+3*1^6=3
ответ 3
2)
19^20+21=361^10+21=(330+21)^10+21=55*A+21^10+21
21^10+21= 4084101 ^2+21= (4084080 +21)^2+21=55*B+21^2+21
21^2+21=462=440+22
ответ 22

Answer 2

1. Для нахождения остатка при делении 73^37 на 7 можно воспользоваться теоремой остатков. Поскольку остатки при делении чисел 73 и 7 равны соответственно 3 и 0, то мы можем заменить 73 на 3 и вычислить 3^37. Поскольку остатки при делении чисел 3 и 7 повторяются с периодом 4 (3, 2, 6, 4), мы можем найти остаток при делении 37 на 4, который равен 1. Таким образом, остаток при делении 73^37 на 7 равен 3.

2. Для нахождения остатка при делении числа 19^20 + 21 на 55 можно разложить число 19^20 на множители и применить свойства остатков. Заметим, что остатки при делении числа 19 на 55 повторяются с периодом 4 (19, 38, 57, 76), а остатки при делении числа 21 на 55 равны 21. Таким образом, мы можем заменить 19^20 на 19^4 и вычислить остаток при делении 19^4 + 21 на 55. Остатки при делении числа 19^4 на 55 также повторяются с периодом 4 (11, 44, 9, 36), поэтому мы можем заменить 19^4 на 19 и вычислить остаток при делении 19 + 21 на 55. Получаем остаток 40.

3. Для нахождения наибольшего натурального числа n, меньшего 2015, такого, что число 3 + n, его квадрат и куб дают одинаковые остатки при делении на 7, можно перебрать все натуральные числа n от 1 до 2015 и проверить условие. При этом можно заметить, что остатки при делении чисел 3, 3^2 и 3^3 на 7 повторяются с периодом 3 (3, 2, 6), поэтому можно рассмотреть только остатки 1, 2 и 3 при делении числа n на 3. Перебрав все значения n, мы получим, что наибольшее значение n, удовлетворяющее условию, равно 2013.