Question

Решите уравнение 1) log0,5 (x^2-3x)=-2 2) log2 под корнем х -log2 1/x =3

Answer 1

1)ОДЗ  x²-3x>0⇒x(x-3)>0
x=0 x=3     
           +              _                  +
_____________________________
                 0                      3
x∈(-≈;0) U (3;≈)
x²-3x=4⇒x²-3x-4=0
x1+x2=3 U x1*x2=-4⇒x1=-1 U x2=4
2)ОДЗ  x>0
log(2)(x√x)=3
x√x=8⇒√x³=8⇒x³=64⇒x=4

Answer 2

Давайте решим данные уравнения.

1) \( \log_{0.5}(x^2 - 3x) = -2 \)

Вспомним, что \(\log_a(b) = c\) эквивалентно \(a^c = b\). Таким образом, мы можем записать уравнение в эквивалентной форме:

\[ 0.5^{-2} = x^2 - 3x \]

\[ \frac{1}{0.5^2} = x^2 - 3x \]

\[ 4 = x^2 - 3x \]

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью квадратного корня или формулы квадратного уравнения. Формула имеет вид:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном случае, у нас есть \(a = 1\), \(b = -3\), и \(c = -4\). Подставим значения:

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} \]

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} \]

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} \]

\[ x = \frac{3 \pm 5}{2} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(x\):

\[ x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1 \]

Теперь перейдем ко второму уравнению.

2) \(\log_2(\sqrt{x}) - \log_2\left(\frac{1}{x}\right) = 3\)

Воспользуемся свойствами логарифмов:

\[ \log_2(\sqrt{x}) - \log_2\left(\frac{1}{x}\right) = \log_2(x^{1/2}) - \log_2(x^{-1}) \]

Применим правило вычитания логарифмов: \(\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)\):

\[ \log_2\left(\frac{x^{1/2}}{x^{-1}}\right) = 3 \]

Упростим выражение:

\[ \log_2(x^{1/2} \cdot x) = 3 \]

\[ \log_2(x^{3/2}) = 3 \]

Теперь используем свойство логарифма: если \(\log_a(b) = c\), то \(a^c = b\):

\[ 2^3 = x^{3/2} \]

\[ 8 = x^{3/2} \]

Теперь избавимся от степени 3/2, возводив обе стороны уравнения в квадрат:

\[ 64 = x^3 \]

Теперь найдем корень третьей степени от обеих сторон:

\[ x = \sqrt[3]{64} \]

\[ x = 4 \]

Итак, решения уравнений:

Для уравнения 1): \( x = 4 \) или \( x = -1 \).

Для уравнения 2): \( x = 4 \).

Таким образом, пересекающееся решение для обоих уравнений - \( x = 4 \).