Question

Из A в B одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 51 км/ч, а вторую половину проехал со скоростью на 34 км/ч больше скорости первого, в результате чего прибыл в B одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.

Answer 1

По условию выехали два автомобиля.
Один автомобиль ехал с одной скоростью, а другой с разной.
Ехали они одно расстояние за одно и то же время.

Обозначим скорость первого за х.

$\left \{ {{t= \frac{S}{x} } \atop { t=\frac{S}{v_2}}} \right. =\ \textgreater \ \frac{S}{v_2}=\frac{S}{x}$

$\frac{S}{v_2} =\frac{0.5S}{51} + \frac{0.5S}{x+34} =0.5S( \frac{1}{51}+ \frac{1}{x+34} )$

Заменяем.
$0.5S( \frac{1}{51}+ \frac{1}{x+34} )= \frac{S}{x} \\ \\ \frac{1}{51}+ \frac{1}{x+34} -\frac{2}{x}=0 \\ \\ x^2+85x-102x-102*34=0 \\ \\ x^2-17x-102*34=0 \\ D=119 \\ \\ x= \frac{17+119}{2} =68$

Answer 2

Пусть \( V_1 \) - скорость первого автомобилиста, \( V_2 \) - скорость второго автомобилиста.

Пусть расстояние между A и B равно \( D \).

Первый автомобилист проехал весь путь со скоростью \( V_1 \), поэтому время \( t_1 \), которое он затратил, равно:

\[ t_1 = \frac{D}{V_1} \]

Второй автомобилист проехал первую половину пути со скоростью \( 51 \, \text{км/ч} \) и вторую половину пути со скоростью \( V_1 + 34 \, \text{км/ч} \). Таким образом, время \( t_2 \), которое он затратил, можно выразить следующим образом:

\[ t_2 = \frac{\frac{D}{2}}{51} + \frac{\frac{D}{2}}{V_1 + 34} \]

Так как оба автомобилиста прибыли в точку B одновременно, \( t_1 = t_2 \). Подставим значения и приравняем:

\[ \frac{D}{V_1} = \frac{\frac{D}{2}}{51} + \frac{\frac{D}{2}}{V_1 + 34} \]

Упростим уравнение:

\[ \frac{D}{V_1} = \frac{D}{102} + \frac{D}{2(V_1 + 34)} \]

Перемножим все части уравнения на \( V_1 \cdot 102 \cdot 2(V_1 + 34) \) для устранения знаменателей:

\[ 2(V_1 + 34) \cdot D \cdot V_1 = V_1 \cdot 102 \cdot D \cdot (V_1 + 34) + D \cdot V_1 \cdot 102 \]

Раскроем скобки:

\[ 2D \cdot V_1^2 + 2 \cdot 34 \cdot D \cdot V_1 = 102D \cdot V_1^2 + 102 \cdot D \cdot V_1 + 102 \cdot D \cdot V_1 \]

Упростим уравнение:

\[ 2D \cdot V_1^2 + 68 \cdot D \cdot V_1 = 204D \cdot V_1^2 + 204 \cdot D \cdot V_1 \]

Подставим \( D \cdot V_1 \) на одну сторону уравнения:

\[ 0 = 202D \cdot V_1^2 + 136 \cdot D \cdot V_1 \]

Разделим уравнение на \( 2D \cdot V_1 \) (поскольку \( D \) и \( V_1 \) не могут быть равны нулю):

\[ 0 = 101V_1 + 68 \]

Решим уравнение относительно \( V_1 \):

\[ V_1 = -\frac{68}{101} \]

Однако скорость не может быть отрицательной, следовательно, произошла ошибка в условии или решении. Пожалуйста, проверьте условие задачи и предоставьте корректные данные.