Question

Площадь прямоугольного треугольника равна √3/2. Один из острых углов равен 30 градусов. Найдите длину гипотенузы.

Answer 1

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников, а также фактом, что один из острых углов равен 30 градусов.

Обозначим длину катета, прилегающего к углу в 30 градусов, через \(a\), а длину противоположенного катета через \(b\). Гипотенуза обозначена как \(c\).

Известно, что площадь прямоугольного треугольника равна \(\frac{1}{2}ab\), а также, что \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\).

Таким образом, у нас есть два уравнения:

\[ \frac{1}{2}ab = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \sin 30^\circ = \frac{a}{c} = \frac{1}{2} \]

Мы можем использовать второе уравнение, чтобы выразить \(a\) через \(c\):

\[ a = \frac{c}{2} \]

Теперь подставим это значение \(a\) в первое уравнение:

\[ \frac{1}{2} \left(\frac{c}{2}\right)b = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Упростим уравнение:

\[ \frac{c}{4}b = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Умножим обе стороны на \(\frac{4}{c}\), чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

\[ b = \frac{2\sqrt{3}}{c} \]

Теперь у нас есть выражение для длины противоположенного катета через длину гипотенузы.

Так как \(a = \frac{c}{2}\), то длина гипотенузы \(c\) равна:

\[ c = 2a \]

Теперь мы можем подставить это значение \(c\) в уравнение для \(b\):

\[ b = \frac{2\sqrt{3}}{2a} \]

Упростим:

\[ b = \frac{\sqrt{3}}{a} \]

Таким образом, длина гипотенузы \(c\) равна \(2a\), и длина противоположенного катета \(b\) равна \(\frac{\sqrt{3}}{a}\).