Question

Найдите сумму корней(корень если он 1) уравнения x*корень квадратный из(3x²+13)-√x*корень 4 степени из(3x²+13)=2

Answer 1

x*корень квадратный из(3x²+13)-√x*корень 4 степени из(3x²+13)=2
ОДЗ x>0
√x*корень 4 степени из(3x²+13)=t
t²-t-2=0
t1+t2=1 U t1+t2=-2
t1=-1⇒√x*корень 4 степени из(3x²+13)=-1 нет решения
t2=2⇒√x*корень 4 степени из(3x²+13)=2
возведем в 4 степень
x²(3x²+13)=16
3x^4+13x²-16=0
x²=a
3a²+13a-16=0
D=169+192=361
a1=(-13-19)/6=-16/3⇒x2=-16/3 нет решения
a2=(13+19)/6=1⇒x²=1⇒x=1 U x=-1∉ОДЗ
Ответ х=1

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы сначала выразим корни, а затем найдем их сумму.

Пусть \(y = \sqrt{x}\). Тогда уравнение можно записать в следующем виде:

\[y \cdot \sqrt{3x^2 + 13} - \sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{3x^2 + 13} = 2\]

Далее, возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[(y \cdot \sqrt{3x^2 + 13} - \sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{3x^2 + 13})^2 = 2^2\]

\[(y \cdot \sqrt{3x^2 + 13})^2 - 2 \cdot y \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{3x^2 + 13} \cdot \sqrt[4]{3x^2 + 13} + (\sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{3x^2 + 13})^2 = 4\]

\[3x^2 + 13 - 2 \cdot y \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{3x^2 + 13} \cdot \sqrt[4]{3x^2 + 13} + x \cdot \sqrt{3x^2 + 13} = 4\]

Теперь заменим \(y\) обратно на \(\sqrt{x}\):

\[3x^2 + 13 - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{3x^2 + 13} \cdot \sqrt[4]{3x^2 + 13} + x \cdot \sqrt{3x^2 + 13} = 4\]

\[3x^2 + 13 - 2 \cdot x \cdot \sqrt{3x^2 + 13} \cdot \sqrt[4]{3x^2 + 13} + x \cdot \sqrt{3x^2 + 13} = 4\]

Теперь мы можем объединить все слагаемые с корнем:

\[3x^2 + 13 + (x - 2x) \cdot \sqrt{3x^2 + 13} \cdot \sqrt[4]{3x^2 + 13} = 4\]

\[3x^2 + 13 + x \cdot (\sqrt{3x^2 + 13} - 2 \cdot \sqrt{3x^2 + 13} \cdot \sqrt[4]{3x^2 + 13}) = 4\]

\[3x^2 + 13 + x \cdot (\sqrt{3x^2 + 13} - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{3x^2 + 13}) = 4\]

Теперь мы можем выразить \(x\):

\[3x^2 + 13 = 4 - x \cdot (\sqrt{3x^2 + 13} - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{3x^2 + 13})\]

\[3x^2 + x \cdot (\sqrt{3x^2 + 13} - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{3x^2 + 13}) + 13 - 4 = 0\]

\[3x^2 + x \cdot (\sqrt{3x^2 + 13} - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{3x^2 + 13}) + 9 = 0\]

Теперь мы получили квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта и формулы корней. Однако, в данном случае у нас нет явного значения для \(\sqrt{x}\), поэтому дальнейшие вычисления могут быть довольно сложными.

Для нахождения суммы корней уравнения, мы можем воспользоваться формулой для суммы корней квадратного уравнения:

\[S = -\frac{b}{a}\]

Где \(S\) - сумма корней, \(a\) - коэффициент перед \(x^2\), \(b\) - коэффициент перед \(x\).

В нашем случае, \(a = 3\) и \(b = \sqrt{3x^2 + 13} - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{3x^2 + 13}\).

Таким образом, сумма корней уравнения будет:

\[S = -\frac{(\sqrt{3x^2 + 13} - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{3x^2 + 13})}{3}\]

Однако, для более точного решения и упрощения дальнейших вычислений, рекомендуется обратиться к численным методам или использовать компьютерную программу для решения данного уравнения.