Question

Допоможіть терміново Розв'язати рівняння: Корінь з х^2-2х+1 + |х-2|=1

Answer 1

$\sqrt{x^2-2x+1} +|x-2|=1\; ,\\\\ ODZ:\; x^2-2x+1 \geq 0\; ,\; (x-1)^2 \geq 0\; \; pri\; \; x\in R\\\\\sqrt{(x-1)^2}+|x-2|=1\\\\|x-1|+|x-2|=|x-1|+|x-2|=1\\\\Znaki\; (x-1):\; \; \; ---(1)+++++++\\\\Znaki\; (x-2):\; \; \; -------(2)+++\\\\a)\; \; x\ \textless \ 1:\; \; |x-1|=-(x-1)\; ,\; |x-2|=-(x-2)\\\\|x-1|+|x-2|=-x+1-x+2=-2x+3,\\\\-2x+3=1\; ,\; -2x=-2\; ,\; \; x=1\notin (1,+\infty )\\\\b)\; \; 1 \leq x \leq 2\; |x-1|=x-1,\; \; |x-2|=-(x-2)\\\\|x-1|+|x-2|=x-1-x+2=1,\\\\1=1\; \; pri\; \; x\in [\, 1,2\, ]$

$c)\; \; x\ \textgreater \ 2:\; \; |x-1=x-1,\; \; |x-2|=x-2\\\\|x-1|+|x-2|=x-1+x-2=2x-3,\\\\2x-3=1\; ,\; \; 2x=4\; ,\; \; x=2\notin (2,+\infty )\\\\Otvet:\; \; x\in [\, 1,2\, ]\; .$

Answer 2

Розв'язання рівняння: корінь з х^2 - 2х + 1 + |х - 2| = 1

Щоб розв'язати це рівняння, спочатку розділимо його на два випадки залежно від значення виразу |х - 2|.

Випадок 1: (х - 2) >= 0

Якщо (х - 2) >= 0, тоді |х - 2| = (х - 2). Замінимо вираз |х - 2| на (х - 2) в нашому рівнянні:

корінь з х^2 - 2х + 1 + (х - 2) = 1

Скоротимо це рівняння:

корінь з х^2 - х - 1 = 0

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння. Використаємо квадратний корень для обох сторін:

х^2 - х - 1 = 0

Застосуємо квадратну формулу, щоб знайти значення х:

х = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Де a = 1, b = -1, c = -1:

х = (-(-1) ± √((-1)^2 - 4(1)(-1))) / (2(1))

спрощуємо:

х = (1 ± √(1 + 4)) / 2

х = (1 ± √5) / 2

Тому, у випадку (х - 2) >= 0, рівняння має два розв'язки: х = (1 + √5) / 2 та х = (1 - √5) / 2.

Випадок 2: (х - 2) < 0

Якщо (х - 2) < 0, тоді |х - 2| = -(х - 2). Замінимо вираз |х - 2| на -(х - 2) в нашому рівнянні:

корінь з х^2 - 2х + 1 - (х - 2) = 1

Скоротимо це рівняння:

корінь з х^2 - 3х + 3 = 1

Тепер ми можемо розв'язати це рівняння:

х^2 - 3х + 2 = 0

Тут ми маємо квадратне рівняння, яке ми можемо розв'язати, використовуючи квадратний корінь:

х = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Де a = 1, b = -3, c = 2:

х = (-(-3) ± √((-3)^2 - 4(1)(2))) / (2(1))

спрощуємо:

х = (3 ± √(9 - 8)) / 2

х = (3 ± √1) / 2

х = (3 ± 1) / 2

Отже, у випадку (х - 2) < 0, рівняння має два розв'язки: х = 2 та х = 1.

Відповідь:

Отже, загалом рівняння корінь з х^2 - 2х + 1 + |х - 2| = 1 має чотири розв'язки: х = (1 + √5) / 2, х = (1 - √5) / 2, х = 2 та х = 1.