Question

В геометрической прогрессии разность четвёртого и второго членов равна 18, а разность пятого и третьего членов-36 найдите первый член данной прогресии

Answer 1

В5-в3=36
в4-в2=18
в1q^4-b1q^2=36
b1q^3-b1q=18
q^2(b1q^2-b1)=36 (1)
q^2( b1q^2-b1)=18 (2)
разделим 1-выражение на2, получим q=2, подставим значение в b1q^3-b1q=18 и получим в1=3

Answer 2

Пусть \(a\) - это первый член геометрической прогрессии, а \(q\) - её знаменатель.

Тогда члены прогрессии будут следующими: \[ \begin{align*} &\text{первый член: } a,\\ &\text{второй член: } aq,\\ &\text{третий член: } aq^2,\\ &\text{четвёртый член: } aq^3,\\ &\text{пятый член: } aq^4,\\ &\text{и так далее.} \end{align*} \]

Из условия задачи у нас есть два уравнения:

1. Разность четвёртого и второго членов равна 18: \[ aq^3 - aq = 18. \]

2. Разность пятого и третьего членов равна -36: \[ aq^4 - aq^2 = -36. \]

Теперь давайте решим эту систему уравнений.

1. Домножим первое уравнение на \(q\): \[ aq^4 - aq^2 = 18q. \]

2. Вычитаем второе уравнение из домноженного первого: \[ (18q - (-36)) = 18q + 36 = 0. \]

Отсюда получаем, что \(q = -2\).

Теперь мы знаем значение \(q\), подставим его в первое уравнение: \[ aq^3 - aq = 18 \implies a(-2)^3 - a(-2) = 18 \implies -8a + 2a = 18 \implies -6a = 18. \]

Решая это уравнение, найдем значение \(a\): \[ a = \frac{18}{-6} = -3. \]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен -3.