Question

Найдите наибольшее значение функции y=x^5+20x^3-65x на отрезке [-4; 0]

Answer 1

Находим производную функции
y'=5x^4+60x^2-65

Проверяем, ести ли у нее крит. точки
5x^4+60x^2-65=0

x^4+12x^2-13=0
Допустим, x^2=t
t^2+12t-13=0
D=144+52=196
t1=1;  t2=-13
x^2=1   или   x^2=-13 (этот вариант исключен)
x=1  или  x=-1
x=1 не относится к промежутку, данному в условии, поэтому будем рассматривать только x=-1
f(-4)=(-4)^5+20*(-4)^3-65*(-4)=-2044
f(-1)=(1)^5+20*(-1)^3-65*(-1)=44
f(0)=0^5+20*0^3-65*0=0
maxf(x)=f(-1)=44
 [-4;0]
 Ответ: 44

Answer 2

стационарные точки не входят в промежуток,это точки 5 и -5, поэому наибольшее значение функция будет принимать при подстановки точки о, будет равно 0!

Answer 3

Для нахождения наибольшего значения функции y=x^5+20x^3-65x на отрезке [-4; 0], необходимо найти точку, в которой функция достигает максимума.

Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

y' = 5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Данное уравнение является квадратным относительно x^2. Решим его:

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Проведем замену: u = x^2

5u^2 + 60u - 65 = 0

Решим это квадратное уравнение относительно u:

D = (60)^2 - 4 * 5 * (-65) = 3600 + 1300 = 4900

u1 = (-60 + √4900) / 10 = (-60 + 70) / 10 = 1

u2 = (-60 - √4900) / 10 = (-60 - 70) / 10 = -13

Так как u = x^2, то у1 = 1 и у2 = -13. Отсюда получаем две точки, в которых производная равна нулю: x1 = √1 = 1 и x2 = -√13.

Теперь найдем значение функции в этих точках:

y(1) = 1^5 + 20 * 1^3 - 65 * 1 = 1 + 20 - 65 = -44

y(-√13) = (-√13)^5 + 20 * (-√13)^3 - 65 * (-√13) ≈ -1.55

Таким образом, на отрезке [-4; 0] наибольшее значение функции равно -44.