Question

Найдите все значение параметра a при которых производная функции y= x^3 +3x^2+ax-1 принимает только положитльные значения

Answer 1

Y = x^3 + 3x^2 + ax - 1
y' = 3x^2 + 6x + a = 3(x^2 + 2x + 1 - 1) + a = 3(x+1)^2 - 3 + a >= a - 3 > 0
a - 3 > 0
a > 3

Answer 2

Чтобы найти значения параметра \( a \), при которых производная функции \( y = x^3 + 3x^2 + ax - 1 \) принимает только положительные значения, нужно рассмотреть знаки производной.

Дана функция \( y = x^3 + 3x^2 + ax - 1 \), и мы хотим найти значения параметра \( a \), при которых производная \( y' \) положительна для всех допустимых значений \( x \).

1. Начнем с нахождения производной: \[ y' = 3x^2 + 6x + a \]

2. Теперь мы хотим, чтобы производная была положительной для всех значений \( x \). Заметим, что квадратное уравнение \( 3x^2 + 6x + a = 0 \) всегда имеет дискриминант \( D = b^2 - 4ac \) больше или равен нулю для положительных коэффициентов \( a, b, c \). Если дискриминант положителен, то у уравнения два действительных корня, и оно меняет знак с положительного на отрицательный и обратно. Мы хотим, чтобы уравнение имело только один корень, который был бы действительным, и чтобы производная была всегда положительной.

\[ D = 6^2 - 4(3)(a) \geq 0 \]

Решим это неравенство: \[ 36 - 12a \geq 0 \] \[ 12a \leq 36 \] \[ a \leq 3 \]

Таким образом, для всех значений параметра \( a \), которые меньше или равны 3, производная \( y' \) будет положительной для всех допустимых значений \( x \).