Question

В квадрат, сторона которого равна 12 см, вписан другой квадрат, вершины которого являются серединами сторон первого квадрата, в этот квадрат вписан таким же образом другой квадрат, и т.д. (см.рис.). Найди сумму площадей всех квадратов.

Answer 1

Обозначим сторону первого квадрата a₁=12 см, а его площадь b₁=a₁²=144 см²
сторона второго a₂=√(2(a₁/2)²)=a₁/√2, его площадь b₂=a₂²=а₁²/2=b₁/2
сторона третьего a₃=a₂/√2, b₃=a₃²=a₂²/2=b₂/2
 и т. д.
Видно, что площади представляют собой геометрическую прогрессию со знаменателем q=1/2

сумма бесконечной убывающей прогрессии
S=b₁/(1-q)=144/(1-1/2)=288 см²

Answer 2

Решение:

Для решения этой задачи, давайте посмотрим на каждый из квадратов и найдем закономерности.

- Первый квадрат имеет сторону 12 см. Площадь этого квадрата равна 12 * 12 = 144 см^2.

- Второй квадрат вписан в первый квадрат, так что его сторона будет равна половине стороны первого квадрата, то есть 6 см. Площадь второго квадрата равна 6 * 6 = 36 см^2.

- Третий квадрат вписан во второй квадрат, который в свою очередь вписан в первый квадрат. Таким образом, сторона третьего квадрата будет равна половине стороны второго квадрата, то есть 3 см. Площадь третьего квадрата равна 3 * 3 = 9 см^2.

Мы можем заметить, что каждый следующий квадрат будет вписан в предыдущий квадрат и его сторона будет равна половине стороны предыдущего квадрата. То есть, если нам дан квадрат со стороной a, то площадь следующего квадрата будет равна (a/2)^2.

Таким образом, мы можем найти сумму площадей всех квадратов, продолжая этот процесс:

Сумма площадей = 144 + 36 + 9 + ...

Мы можем заметить, что это является бесконечной геометрической прогрессией с первым членом 144 и знаменателем 1/4 (так как каждый следующий квадрат имеет площадь, равную 1/4 площади предыдущего квадрата).

Теперь мы можем использовать формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

Сумма площадей = a / (1 - r)

где a - первый член прогрессии (144), r - знаменатель прогрессии (1/4).

Подставляя значения, получим:

Сумма площадей = 144 / (1 - 1/4) = 144 / (3/4) = 144 * (4/3) = 192 см^2.

Таким образом, сумма площадей всех квадратов равна 192 см^2.