Question

составьте уравнение касательной к графику функции y=5x-3/5x+1 в точке с абсциссой x0=1/5

Answer 1

y`=5(5x+1)-(5x-3)5/(5x+1)^2=25x+5-25x+15/25x^2+10x+1=20/25x^2+10x+1

y`(1/5)=20/1+2+1=5

y(1/5)=-1

y=5(x-1/5)-1

y=5x-1-1

y=5x-2

Answer 2

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции y = (5x - 3)/(5x + 1) в точке с абсциссой x0 = 1/5, мы можем использовать производную функции. Производная функции позволяет нам найти наклон касательной в данной точке.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции y = (5x - 3)/(5x + 1). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования частного функций.

Правило дифференцирования частного: (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x))^2

Применяя это правило к нашей функции, получаем:

y' = ((5(5x + 1) - (5x - 3)(5))/(5x + 1)^2 = (25x + 5 - 25x + 15)/(5x + 1)^2 = 20/(5x + 1)^2

Нахождение значения производной в точке x0 = 1/5

Чтобы найти наклон касательной в точке x0 = 1/5, подставим x0 в выражение для производной:

y'(1/5) = 20/(5(1/5) + 1)^2 = 20/(1 + 1)^2 = 20/4 = 5

Составление уравнения касательной

Теперь, когда мы нашли наклон касательной (5) в точке x0 = 1/5, мы можем использовать его, чтобы составить уравнение касательной в этой точке.

Уравнение касательной имеет вид y - y0 = m(x - x0), где (x0, y0) - координаты точки, а m - наклон касательной.

Подставим известные значения:

y - y0 = 5(x - 1/5)

Так как точка на графике функции y = (5x - 3)/(5x + 1), то y0 = (5(1/5) - 3)/(5(1/5) + 1) = (1 - 3)/(1 + 1) = -2/2 = -1.

Подставим это значение:

y - (-1) = 5(x - 1/5)

y + 1 = 5(x - 1/5)

Окончательное уравнение касательной

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = (5x - 3)/(5x + 1) в точке с абсциссой x0 = 1/5 имеет вид:

y + 1 = 5(x - 1/5)