Question

Найти наименьшее значение функции , y= x^3-x^2-x+8 на отрезке [0;4]

Answer 1

y'=3x^2-2x-1

y'=0 ,то x1=1 ,x2=-1/3

y(0)=8

y(1)=7

 

Ответ:7

Answer 2

Для поиска наименьшего значения функции \( y = x^3 - x^2 - x + 8 \) на отрезке \([0; 4]\) нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем точки экстремума внутри интервала.

Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки.

\(y = x^3 - x^2 - x + 8\)

Найдем производную:

\(y' = 3x^2 - 2x - 1\)

Теперь найдем корни этого уравнения:

\(3x^2 - 2x - 1 = 0\)

Используем квадратное уравнение или другие методы для нахождения корней:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

\(a = 3, b = -2, c = -1\)

\(x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}\)

\(x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6}\)

\(x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6}\)

\(x = \frac{2 \pm 4}{6}\)

\(x_1 = \frac{6}{6} = 1\)

\(x_2 = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}\)

Теперь найдем значения функции в найденных точках:

При \(x = 1: y = 1^3 - 1^2 - 1 + 8 = 1 - 1 - 1 + 8 = 7\)

При \(x = -\frac{1}{3}: y = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right) + 8\)

\(y = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 8 = -\frac{4}{27} + 8 = \frac{216 - 4}{27} = \frac{212}{27}\)

2. Проверим значения функции на концах отрезка \([0; 4]\).

При \(x = 0: y = 0^3 - 0^2 - 0 + 8 = 0 - 0 - 0 + 8 = 8\)

При \(x = 4: y = 4^3 - 4^2 - 4 + 8 = 64 - 16 - 4 + 8 = 52\)

3. Сравним все найденные значения функции.

Значения функции на краях отрезка:

\(y(0) = 8\)

\(y(4) = 52\)

Значения функции в критических точках:

\(y(1) = 7\)

\(y\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{212}{27}\)

Таким образом, наименьшее значение функции \(y = x^3 - x^2 - x + 8\) на интервале \([0; 4]\) равно \(7\) (достигается при \(x = 1\)).