Question

Докажите тождество (cos^2a)/(1-cos^2(pi/2+a)=tg((3pi/2)+a)*tg(-a)

Answer 1

Cos²a/(1-cos²(π/2+a))=cos²a/(1-sin²a)=cos²a/cos²a)=1
tg(3π/2+a)*tg(-a)=-ctga*(-tga)=1
1=1 

Answer 2

Давайте детально рассмотрим данное тождество и попробуем его доказать.

Имеется тождество:

\[\frac{\cos^2 a}{1 - \cos^2(\frac{\pi}{2} + a)} = \tan(\frac{3\pi}{2} + a) \cdot \tan(-a)\]

Для начала, давайте рассмотрим знаменатель дроби в левой части уравнения:

\[1 - \cos^2(\frac{\pi}{2} + a)\]

Используем тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). В данном случае, мы можем записать:

\[\sin^2(\frac{\pi}{2} + a) + \cos^2(\frac{\pi}{2} + a) = 1\]

Так как \(\sin(\frac{\pi}{2} + a) = \cos(a)\), мы можем заменить в выражении:

\[\cos^2 a + \cos^2(\frac{\pi}{2} + a) = 1\]

Теперь мы можем выразить \(\cos^2(\frac{\pi}{2} + a)\) как \(1 - \cos^2 a\), подставив это в исходное уравнение:

\[1 - \cos^2(\frac{\pi}{2} + a) = 1 - (1 - \cos^2 a) = \cos^2 a\]

Таким образом, знаменатель в левой части равен \(\cos^2 a\).

Теперь рассмотрим числитель:

\[\cos^2 a\]

Теперь подставим значения числителя и знаменателя в левую часть уравнения:

\[\frac{\cos^2 a}{1 - \cos^2(\frac{\pi}{2} + a)} = \frac{\cos^2 a}{\cos^2 a} = 1\]

Теперь рассмотрим правую часть уравнения:

\[\tan(\frac{3\pi}{2} + a) \cdot \tan(-a)\]

Используем тригонометрическое тождество \(\tan(\theta + \pi) = -\tan \theta\):

\[\tan(\frac{3\pi}{2} + a) = -\tan(\frac{\pi}{2} - a)\]

Теперь у нас есть:

\[-\tan(\frac{\pi}{2} - a) \cdot \tan(-a)\]

Используем тригонометрическое тождество \(\tan(-\theta) = -\tan \theta\):

\[-\tan(\frac{\pi}{2} - a) \cdot (-\tan a) = \tan(\frac{\pi}{2} - a) \cdot \tan a\]

Используем тригонометрическое тождество \(\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \frac{1}{\tan \theta}\):

\[\frac{\tan a}{\tan(\frac{\pi}{2} - a)} = \frac{\tan a}{\cot a} = \tan a \cdot \tan a\]

Таким образом, правая часть равна \(\tan^2 a\).

Таким образом, левая часть уравнения равна 1, а правая часть равна \(\tan^2 a\). Из этого следует, что тождество не выполняется. Возможно, в исходном вопросе допущена ошибка, или требуется дополнительная информация.