Question

Решите неравенство х²+2х-3/(х-7)(х+5)<0

Answer 1

$\frac{x^2+2x-3}{(x-7)(x+5)}<0\\ \\\frac{(x+3)(x-1)}{(x-7)(x+5)}<0$

++++++---------++++++----------

        -5        -3         1          7

$x \in (-5;-3) \cup (1;7)$

Answer 2

Чтобы решить неравенство \( \frac{x^2 + 2x - 3}{(x-7)(x+5)} < 0 \), давайте разберемся с числителем и знаменателем, а затем воспользуемся методом интервалов.

1. Раскроем числитель:

\[ x^2 + 2x - 3 \]

Это квадратное уравнение можно решить с помощью факторизации или квадратного корня. Факторизуем:

\[ (x - 1)(x + 3) \]

2. Раскроем знаменатель:

\[ (x-7)(x+5) \]

Это также можно раскрывать, но для решения неравенства мы будем использовать значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю:

\(x - 7 = 0 \) --> \(x = 7\)

\(x + 5 = 0 \) --> \(x = -5\)

Знаменатель равен нулю при \(x = 7\) и \(x = -5\). Эти точки будут точками разрыва функции.

3. Теперь построим таблицу интервалов. Используем точки разрыва и корни числителя:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & ( -\infty, -5) & (-5, 1) & (1, 7) & (7, +\infty) \\ \hline x^2 + 2x - 3 & - & + & - & + \\ \hline (x - 7)(x + 5) & - & - & + & + \\ \hline \frac{x^2 + 2x - 3}{(x-7)(x+5)} & + & - & + & - \\ \hline \end{array} \]

Знаки "+" и "-" в таблице указывают на знаки числителя и знаменателя на соответствующих интервалах.

4. Теперь рассмотрим, где неравенство \( \frac{x^2 + 2x - 3}{(x-7)(x+5)} < 0 \) выполняется. Ответ:

\[ x \in (-5, 1) \cup (7, +\infty) \]

Это означает, что неравенство выполняется для всех значений \(x\) в интервалах между -5 и 1, а также для всех значений \(x\), больших 7.