Question

19 баллов. Дано вектори а(3;5) і b(x;6). При яких значеннях x кут між векторами a і b : 1)гострий. 2)прямий. 3)тупий

Answer 1

Угол острый, если a*b<0; прямой, если a*b=0; тупой, если a*b<0

a*b = 3*x + 5*6 = 3x + 30 = 3(x + 10)

a*b>0 при x>-10
a*b=0 при x=-10
a*b<0 при x<-10

Answer 2

Для того чтобы определить угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), используем формулу скалярного произведения:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta) \]

Где \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) - скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) - длины векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) соответственно, \( \theta \) - угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).

Длина вектора \( \mathbf{a} \) равна:

\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]

Теперь выразим скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) через координаты векторов:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot x + 5 \cdot 6 = 3x + 30 \]

Теперь подставим значения в формулу для \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \):

\[ 3x + 30 = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta) = \sqrt{34} \cdot |b| \cdot \cos(\theta) \]

Теперь рассмотрим возможные варианты угла \( \theta \) в зависимости от знака выражения \( \cos(\theta) \):

1. Гострый угол: \( \cos(\theta) > 0 \) (угол между \( 0^\circ \) и \( 90^\circ \)). 2. Прямой угол: \( \cos(\theta) = 0 \) (угол \( 90^\circ \)). 3. Тупой угол: \( \cos(\theta) < 0 \) (угол больше \( 90^\circ \)).

Давайте решим неравенство для каждого случая:

1. Гострый угол: \[ \cos(\theta) > 0 \] \[ \sqrt{34} \cdot |b| \cdot \cos(\theta) = 3x + 30 \] \[ |b| \cdot \cos(\theta) = \frac{3x + 30}{\sqrt{34}} \]

2. Прямой угол: \[ \cos(\theta) = 0 \] \[ 3x + 30 = 0 \] \[ x = -10 \]

3. Тупой угол: \[ \cos(\theta) < 0 \] \[ |b| \cdot \cos(\theta) = \frac{3x + 30}{\sqrt{34}} \] \( |b| \) будет положительным, так как это длина вектора. Следовательно, для тупого угла нам нужно, чтобы \( \cos(\theta) \) был отрицательным: \[ \frac{3x + 30}{\sqrt{34}} < 0 \] Это неравенство не имеет решений в действительных числах, так как числитель и знаменатель не могут одновременно иметь разные знаки.

Таким образом, угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) является: 1. Гострым при \( x \) таком, что \( |b| \cdot \cos(\theta) = \frac{3x + 30}{\sqrt{34}} > 0 \). 2. Прямым при \( x = -10 \). 3. Нет решения для тупого угла при рассмотрении действительных чисел.

Точное значение угла требует конкретных численных значений для \( |b| \) или дополнительной информации о \( \mathbf{b} \) для вычисления \( |b| \).