Question

Исследуйте функцию на четность y=x^3|x^4|-5/x

Answer 1

У(-х)=-х^3|(-х)^4|-5/-х=-х3|х4|+5/х=-(х3|х4|-5/х)=-у
функция нечётная,т.к при изменении знака аргумента изменился лишь знак функции

Answer 2

Чтобы исследовать функцию \( y = \frac{x^3}{|x^4|} - 5/x \) на четность, давайте рассмотрим, как изменяется функция при замене \( x \) на \( -x \).

1. Подставим \(-x\) вместо \(x\): \[ y(-x) = \frac{(-x)^3}{|(-x)^4|} - \frac{5}{-x} \]

2. Упростим выражение: \[ y(-x) = -\frac{x^3}{|x^4|} + \frac{5}{x} \]

Теперь сравним \(y(x)\) и \(y(-x)\):

Если \( y(x) = y(-x) \), то функция четная. Если \( y(x) = -y(-x) \), то функция нечетная.

В данном случае видно, что \( y(x) \neq y(-x) \), и также \( y(x) \neq -y(-x) \). Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной.

Теперь обратим внимание на другие характеристики функции:

3. Нахождение области определения: Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому областью определения являются все действительные числа, за исключением \( x = 0 \).

4. Поведение функции при \( x \rightarrow \pm\infty \): При \( x \rightarrow \pm\infty \) оба члена в функции стремятся к нулю, так что функция стремится к нулю.

5. Нахождение точек пересечения с осями: - Пересечение с осью \(y\) (\(x = 0\)): \(y = 0^3/|0^4| - 5/0\) - здесь функция не определена, так как деление на ноль не имеет смысла. - Пересечение с осью \(x\) (\(y = 0\)): \(0 = x^3/|x^4| - 5/x\). Решив это уравнение, мы можем найти корни функции.

Таким образом, исследование данной функции позволяет определить её свойства и поведение в различных точках.