Question

Чему равен loga(b) / logb(a)

Answer 1

Logb(a) = loga(a) / loga(b)
поэтому
logb(a) * loga(b) = loga(a) / loga(b) * loga(b) = loga(a) = 1

Answer 2

Для выражения \( \frac{\log_a(b)}{\log_b(a)} \), где \( a \), \( b \) - положительные числа и \( a, b \neq 1 \), используем свойства логарифмов.

1. Используем свойство изменения основания логарифма: \[ \log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)} \] для любого положительного числа \( c \), отличного от 1.

2. Подставляем это свойство в выражение: \[ \frac{\log_a(b)}{\log_b(a)} = \frac{\frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}}{\frac{\log_c(a)}{\log_c(b)}} \]

3. Сокращаем общий множитель: \[ = \frac{\log_c(b) \cdot \log_c(b)}{\log_c(a) \cdot \log_c(a)} \]

4. Упрощаем: \[ = \left(\frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}\right)^2 \]

5. Возвращаемся к исходным основаниям логарифмов: \[ = \left(\frac{\log_a(b)}{\log_a(a)}\right)^2 \] Так как \( \log_a(a) = 1 \), это упрощается до: \[ = (\log_a(b))^2 \]

Таким образом, \(\frac{\log_a(b)}{\log_b(a)} = (\log_a(b))^2\).