Question

Сколько целых решений имеет неравенство: x(x+1)(x+2)(x+3)>=24

Answer 1

[x(x+3)]*(x+1)(x+2)]≥24
(x²+3x)*(x²+3x+2)-24≥0
x²+3x=a
a(a+2)-24≥0
a²+2a-24≥0
a1+a1=-2 U a1*a2=-24
a1=-6⇒x²+3x=-6
x²+3x+6=0
D=9-24=-15 <0 нет решения
a2=4⇒x²+3x=4
x²+3x-4=0
x1+x2=-3 U x1*x2=-4
x1=-4 U x2=1
x∈(-∞;-4] U [1;∞)
Целых решений множество

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы сначала должны привести его к каноническому виду и исследовать его график. Затем мы сможем определить количество целых решений.

Приведение неравенства к каноническому виду

Начнем с упрощения неравенства. У нас есть: x(x+1)(x+2)(x+3) >= 24

Раскроем скобки: x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x - 24 >= 0

Теперь неравенство стало полиномиальным выражением четвертой степени.

Анализ графика

Чтобы понять, сколько целых решений имеет это неравенство, мы можем построить график полинома. Однако, поскольку график полинома четвертой степени может быть сложным, мы вместо этого можем использовать метод интервалов знаков.

1. Найдем значения x, при которых полином равен нулю: x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x - 24 = 0

Это может быть сделано с помощью различных методов, таких как метод Будана, метод Ньютона или других численных методов. Однако, для данного вопроса, мы можем воспользоваться графическими или компьютерными методами для приближенного вычисления корней. В результате, мы находим два действительных корня: x ≈ -3.47 и x ≈ 1.35.

2. Теперь мы можем выбрать точки внутри и между найденными корнями, чтобы проверить знак полинома: - Проверим знак в интервале (-∞, -3.47): Подставим x = -4 в полином: (-4)^4 + 6(-4)^3 + 11(-4)^2 + 6(-4) - 24 Получаем отрицательное число. Значит, в этом интервале полином отрицателен.

- Проверим знак в интервале (-3.47, 1.35): Подставим x = 0 в полином: 0^4 + 6(0)^3 + 11(0)^2 + 6(0) - 24 Получаем отрицательное число. Значит, в этом интервале полином отрицателен.

- Проверим знак в интервале (1.35, +∞): Подставим x = 2 в полином: 2^4 + 6(2)^3 + 11(2)^2 + 6(2) - 24 Получаем положительное число. Значит, в этом интервале полином положителен.

Количество целых решений

Исходя из анализа графика или метода интервалов знаков, мы видим, что полином x(x+1)(x+2)(x+3) >= 24 положителен только в интервале (1.35, +∞). Значит, неравенство будет выполняться, только если x принадлежит этому интервалу.

Так как мы ищем целые решения, мы можем сказать, что у неравенства нет целых решений. То есть, неравенство x(x+1)(x+