Question

1/Ιx-2Ι-1/Ιx+3Ι≥-1/6

Answer 1

$\frac{1}{|x-2|} - \frac{1}{x+3|} \geq - \frac{1}{6}$

Раскрываем знак модуля на интервалах.
Подмодульные выражения меняют знаки в точках х=-3 и х=2. Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка.
1) (-∞;-3]  | x-2| = -x+2,  | x+3|= -x-3
      Решаем неравенство:
$\frac{1}{-x+2}- \frac{1}{-x-3} \geq - \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{1}{2-x} + \frac{1}{x+3} + \frac{1}{6} \geq 0\Rightarrow \\ \frac{6(x+3)+6(2-x)+(2-x)(x+3)}{6(2-x)(x+3)} \geq 0 \\ \frac{6x+18+12 -6x+2x- x^{2} +6-3x}{6(2-x)(x+3)} \geq 0 \\ \frac{- x^{2} -x+36}{6(2-x)(x+3)} \geq 0$

-x²-x+36=0
x²+x-36=0
D=1-4·(-36)=145
x=(-1-√145)/2   или  х=(-1+√145)/2

Отмечаем нули числителя и знаменателя на (-∞;-3)
               +                          -
----------------[-1-√145)/2]------------(-3)
считаем значение дроби  (-x² -x+36)/6(2-x)(x+3) в точке (-4) получаем (-16+4+36)/6·6·(-1) <0 , ставим знак " минус" над промежутком ((-1-√145)/2;-3), значит на промежутке слева ставим знак "плюс"
Ответ.(-∞; (-1-√145)/2]
 2) (-3;2]  | x-2| = -x+2,  | x+3|= x+3
      Решаем неравенство:
$\frac{1}{-x+2}- \frac{1}{x+3} \geq - \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{1}{2-x} - \frac{1}{x+3} + \frac{1}{6} \geq 0\Rightarrow \\ \frac{6(x+3)-6(2-x)+(2-x)(x+3)}{6(2-x)(x+3)} \geq 0 \\ \frac{6x+18-12 +6x+2x- x^{2} +6-3x}{6(2-x)(x+3)} \geq 0 \\ \frac{- x^{2} +11x+12}{6(2-x)(x+3)} \geq 0$

-x²+11x+12=0
x²-11x-12=0
D=121-4·(-12)=169
x=(11-13)/2=-1   или  х=(11+13)/2=12

Отмечаем нули числителя и знаменателя на (-3;2) x=2 не включаем, так как х в знаменателе:
               -                          +
(-3)----------------[-1]---------------------(2)
считаем значение дроби  (-x² +11x+12)/6(2-x)(x+3) в точке (0) получаем (12)/6·2·3 >0 , ставим знак "плюс" над промежутком [-1;2), значит на промежутке слева ставим знак "минус"
Ответ.[1; 2)
3) (2;+∞)  | x-2| = x-2,  | x+3|= x+3
      Решаем неравенство:
$\frac{1}{x-2}- \frac{1}{x+3} \geq - \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{1}{x-2}- \frac{1}{x+3} + \frac{1}{6} \geq 0\Rightarrow \\ \frac{6(x+3)-6(x-2)+(x-2)(x+3)}{6(x-2)(x+3)} \geq 0 \\ \frac{6x+18 -6x+12+x^{2} -2х-6+3x}{6(x-2)(x+3)} \geq 0 \\ \frac{ x^{2} +x+24}{6(x-2)(x+3)} \geq 0$

x²+x+24=0

D=1-4·24=1-96<0
x²+x+24>0
Считаем знак знаменателя на (2;+∞), знаменатель на указанном промежутке положителен, так как парабола (х-2)(х+3) пересекает ось ох в точках х=-3 и х=2 и ветви направлены вверх

               +                         
(2)--------------------------


(2;+∞)
Ответ. (-∞; (-1-√145)/2]U[1;2) U [ (2;+∞)

Answer 2

..............................................

Answer 3

Для начала, давайте приведем дроби в данном неравенстве к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение знаменателей дробей (x - 2)(x + 3).

Теперь приведем неравенство к общему знаменателю:

(1/(x - 2)) - (1/(x + 3)) ≥ -1/6

Умножим каждую дробь на общий знаменатель:

((x + 3) - (x - 2))/((x - 2)(x + 3)) ≥ -1/6

Упростим числитель:

(3 - (-2))/((x - 2)(x + 3)) ≥ -1/6

(3 + 2)/((x - 2)(x + 3)) ≥ -1/6

5/((x - 2)(x + 3)) ≥ -1/6

Теперь умножим обе части неравенства на (x - 2)(x + 3), чтобы избавиться от знаменателя:

5 ≥ (-1/6)(x - 2)(x + 3)

Упростим правую сторону неравенства:

5 ≥ (-1/6)(x^2 + x - 6)

5 ≥ (-1/6)x^2 - (1/6)x + 1

Теперь приведем неравенство к квадратному виду:

0 ≥ (-1/6)x^2 - (1/6)x - 4

Перенесем все в левую сторону:

(-1/6)x^2 - (1/6)x - 4 ≤ 0

Умножим обе части неравенства на -6, чтобы избавиться от дробей и изменить знак неравенства:

x^2 + x + 24 ≥ 0

Теперь решим квадратное уравнение. Дискриминант D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(24) = 1 - 96 = -95. Дискриминант отрицательный, значит, уравнение не имеет действительных корней.

Так как a > 0, это означает, что парабола открывается вверх. Значит, уравнение имеет положительные значения при любом значении x.

Таким образом, неравенство x^2 + x + 24 ≥ 0 выполняется для всех значений x.

Итак, исходное неравенство 1/Ιx-2Ι-1/Ιx+3Ι≥-1/6 выполняется для всех значений x.