Question

Найдите максимум и минимум интервалы возрастания и убывания функции У = х3-3х2-9х+4

Answer 1

Y=x³-3x²-9x+4      
y' =3x²-6x-9=0
D=36+12*9=144 √D=12    x=1/6(6+12)=3   x=1/6(6-12)= -1

метод интервалов

------------------ -1-----------------------3--------
            +                           -                    +
максимум при х= -1   у= -1-3+9+4= 9
минимум при х= 3     у=27-27-27+4= - 23

функция возрастает х∈(-∞,1)∪(3, ∞)
убывает х∈(1, 3)

Answer 2

Для нахождения максимумов и минимумов интервалов возрастания и убывания функции U = x^3 - 3x^2 - 9x + 4, нам понадобится использовать производные функции. Производная функции позволяет нам определить, когда функция возрастает или убывает, а также находить точки экстремума.

Давайте начнем с нахождения производной функции U.

Нахождение производной функции

Производная функции U представляет собой функцию, которая показывает скорость изменения функции U по отношению к переменной x. Для нахождения производной функции U, мы будем использовать правила дифференцирования.

У = x^3 - 3x^2 - 9x + 4

Чтобы найти производную функции U, мы дифференцируем каждый член по отдельности. Применим правило дифференцирования для каждого члена:

d/dx (x^3) = 3x^2 d/dx (-3x^2) = -6x d/dx (-9x) = -9 d/dx (4) = 0

Теперь, когда мы нашли производную функции U, мы можем использовать ее для нахождения точек экстремума и интервалов возрастания и убывания.

Нахождение точек экстремума

Точки экстремума функции U соответствуют максимумам или минимумам функции. Чтобы найти эти точки, мы должны найти значения x, где производная функции U равна нулю или не существует.

Поставим производную функции U равной нулю и решим уравнение:

3x^2 - 6x - 9 = 0

Мы можем разделить это уравнение на 3, чтобы упростить его:

x^2 - 2x - 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью факторизации, квадратного корня или формулы квадратных корней. Решение этого уравнения даст нам значения x, где функция U имеет точки экстремума.

Решая квадратное уравнение, получим:

(x - 3)(x + 1) = 0

Откуда x = 3 или x = -1.

Таким образом, функция U имеет точки экстремума при x = 3 и x = -1.

Определение интервалов возрастания и убывания

Теперь, когда у нас есть значения x для точек экстремума, мы можем определить интервалы возрастания и убывания функции U, используя производную функции U.

Для этого мы можем взять значения x, которые находятся между точками экстремума и проверить знак производной функции U в этих точках.

Возьмем интервалы (-∞, -1), (-1, 3) и (3, +∞) и проверим знаки производной функции U в этих интервалах.

Подставим значения x из каждого интервала в производную функции U:

При x = -2, производная функции U равна:

U'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15

При x = 0, производная функции U равна:

U'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9

При x = 4, производная функции U равна:

U'(4) = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15

Итак, в интервале (-∞, -1) и (3, +∞), производная функции U положительна, что означает, что функция U возрастает в этих интервалах. В интервале (-1, 3), производная функции U отрицательна, что означает, что функция U убывает в этом интервале.

Максимум и минимум

Теперь, используя найденные точки экстремума и интервалы возрастания и убывания, мы можем определить максимумы и минимумы функции U.

Максимум функции U будет соответствовать точке экстремума, где функция U достигает наибольшего значения. Минимум функции U будет соответствовать точке экстремума, где функция U достигает наименьшего значения.

Подставим значения x = -1 и x = 3 в функцию U, чтобы найти соответствующие значения функции U:

При x = -1, функция U равна:

U(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 4 = -1 - 3 + 9 + 4 = 9

При x = 3, функция U равна:

U(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 4 = 27 - 27 - 27 + 4 = -23

Таким образом, максимум функции U равен 9 и достигается при x = -1, а минимум функции U равен -23 и достигается при x = 3.

Итак, мы нашли максимум и минимум интервалов возрастания и убывания функции U = x^3 - 3x^2 - 9x + 4. Максимум равен 9 и достигается при x = -1, а минимум равен -23 и достигается при x = 3.