Question

Дана геометрическая прогрессия (Cn) с положительными членами, в которой с3=18; с5=162 а) Найдите с1 б) Определите количество членов прогрессии начиная с первого, сумма которых равна 80

Answer 1

1) Найдём знаменатель прогрессии q. Так как c5=c3*q², то q²=c5/c3=162/18=9. Так как по условию члены прогрессии положительны, то q=√9=3. Тогда с1=c3/q²=18/9=2.
2) Сумма n членов геометрической прогрессии определяется по формуле Sn=c1*(q^n-1)/(q-1). В нашем случае Sn=2*(3^n-1)/2=3^n-1=80, откуда 3^n=81 и n=log_3(81)=4.
Ответ: 1) с1=2, 2)n=4

Answer 2

Решение:

Для решения этой задачи мы будем использовать формулы для геометрической прогрессии.

Вспомним формулу для общего члена геометрической прогрессии:

Cn = C1 * r^(n-1)

где: - Cn - n-й член прогрессии - C1 - первый член прогрессии - r - знаменатель прогрессии - n - номер члена прогрессии

Дано, что C3 = 18 и C5 = 162.

Нахождение с1:

Для нахождения с1 мы можем использовать формулу для общего члена прогрессии. Подставим значения C3 и C5 в формулу и решим уравнение:

18 = C1 * r^(3-1) 162 = C1 * r^(5-1)

Разделим второе уравнение на первое:

162/18 = (C1 * r^(5-1)) / (C1 * r^(3-1))

9 = r^2

Из этого уравнения мы можем найти значение r:

r = sqrt(9) = 3

Теперь мы можем подставить значение r в одно из уравнений для нахождения с1:

18 = C1 * 3^(3-1)

18 = C1 * 9

C1 = 18 / 9 = 2

Таким образом, с1 = 2.

Определение количества членов прогрессии с суммой 80:

Для определения количества членов прогрессии с суммой 80 мы будем использовать формулу для суммы геометрической прогрессии:

Sn = C1 * (1 - r^n) / (1 - r)

где: - Sn - сумма первых n членов прогрессии

Мы знаем, что сумма таких членов равна 80:

80 = C1 * (1 - r^n) / (1 - r)

Подставим значения C1 и r и решим уравнение:

80 = 2 * (1 - 3^n) / (1 - 3)

Упростим выражение:

80 = 2 * (1 - 3^n) / (-2)

Умножим обе части уравнения на -2:

-160 = 1 - 3^n

Перенесем 1 на левую сторону:

-161 = -3^n

Решим это уравнение, возведя обе части в -1:

(-161)^(-1) = (-3^n)^(-1)

-1/161 = -1/3^n

Теперь мы можем определить значение n:

-1/161 = -1/3^n

Умножим обе части на 161:

1 = 161/3^n

Возведем обе части в степень -1:

1^(-1) = (161/3^n)^(-1)

1 = 3^n/161

Умножим обе части на 161:

161 = 3^n

Теперь найдем значение n, возведя обе стороны в логарифм по основанию 3:

log3(161) = log3(3^n)

n = log3(161)

Округлим это значение до ближайшего целого числа:

n ≈ 4

Таким образом, количество членов прогрессии, сумма которых равна 80, равно 4.