Question

5ctg²x-8ctgx 3=0 Log2(x 1) Log2(11-x)=5

Answer 1

1)  ctg x=t,  5t^2-8t+3=0

                    D=64-60=4

                    t1=1,   t2=3/5,

ctg x=1      ctg x=3/5

x=П/4+ Пk       x=arcctg 3/5+Пn

Answer 2

Для начала, приведем уравнение к более удобному виду. Заметим, что уравнение содержит функции тригонометрии и логарифмы, поэтому для решения удобно использовать свойства этих функций.

1. Рассмотрим первое слагаемое уравнения: 5ctg²x. Пользуясь определением тангенса и котангенса, можем записать его в виде: 5(1/tan²x) = 5/cos²x.

2. Теперь заменим ctgx на 1/tgx: 5/cos²x - 8(1/tgx) + 3 = 0.

3. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения: 5/cos²x - 8/tgx + 3 - 0.

4. Обратимся к определению тангенса и косинуса: tgx = sinx/cosx, cos²x = 1 - sin²x.

5. Подставим эти значения в уравнение: 5/(1 - sin²x) - 8(sinx/(1 - sin²x)) + 3 = 0.

6. Приведем уравнение к общему знаменателю: (5 - 5sin²x - 8sinx + 8sin³x + 3(1 - sin²x))/(1 - sin²x) = 0.

7. Упростим числитель: (8sin³x - 5sin²x - 8sinx + 8 + 3 - 3sin²x)/(1 - sin²x) = 0.

8. Объединим подобные слагаемые: (8sin³x - 8sinx - 2sin²x + 11)/(1 - sin²x) = 0.

9. Раскроем скобки: (8sinx(sin²x - 1) - 2sin²x + 11)/(1 - sin²x) = 0.

10. Упростим выражение: (8sinx(-cos²x) - 2sin²x + 11)/(1 - sin²x) = 0.

11. Используя тождество sin²x + cos²x = 1, получим: (-8sinx + 2sin²x - 2sin²x + 11)/(1 - sin²x) = 0.

12. Упростим: (-8sinx + 11)/(1 - sin²x) = 0.

13. Разложим на множители: (11 - 8sinx)/((1 - sinx)(1 + sinx)) = 0.

14. Заметим, что (11 - 8sinx) не может быть равно нулю, так как sinx ограничен от -1 до 1. Таким образом, уравнение сводится к (1 - sinx)(1 + sinx) = 0.

15. Решаем полученное уравнение: - (1 - sinx) = 0 => sinx = 1 => x = π/2 + 2πk, где k - целое число. - (1 + sinx) = 0 => sinx = -1 => x = 3π/2 + 2πk, где k - целое число.

Таким образом, исходное уравнение имеет бесконечное множество решений: x = π/2 + 2πk, x = 3π/2 + 2πk, где k - целое число.