Question

Разложите на множители выражение:a)121a^2-81b^2;б)16x^2+49y^2-56xy;в)125x^3+27y^3;г)a^3-3a^2x+3ax^2-x^3;д)a^5+32b^5.

Answer 1

А)(11a - 9b)(11a + 9b)
б) (4x - 7y)^2 = (4x - 7y)(4x - 7y)
в) ( 5x + 3y)(25x^2 - 15xy + 9y^2)
г) ( a - x)^3 = (a - x)(a - x)(a - x)
д) a^5 + 32b^5 = (a+2b)(a^4-2a^3b+4a^2b^2-8ab^3+16b^4)

Answer 2

Давайте поочередно разложим данные выражения на множители.

a) \(121a^2 - 81b^2\)

Это разность квадратов: \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\).

Таким образом, данное выражение можно разложить следующим образом:

\[121a^2 - 81b^2 = (11a)^2 - (9b)^2 = (11a + 9b)(11a - 9b).\]

б) \(16x^2 + 49y^2 - 56xy\)

Это также разность квадратов: \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\).

Мы можем записать исходное выражение так:

\[16x^2 + 49y^2 - 56xy = (4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot (7y) + (7y)^2.\]

Теперь мы видим, что это квадратный трином:

\[(4x - 7y)^2.\]

в) \(125x^3 + 27y^3\)

Это сумма кубов: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\).

Мы можем применить эту формулу:

\[125x^3 + 27y^3 = (5x)^3 + (3y)^3 = (5x + 3y)(25x^2 - 15xy + 9y^2).\]

г) \(a^3 - 3a^2x + 3ax^2 - x^3\)

Это выражение представляет собой куб разности: \((a - b)^3\).

Мы можем записать это как:

\[a^3 - 3a^2x + 3ax^2 - x^3 = (a - x)^3.\]

д) \(a^5 + 32b^5\)

Это сумма пятых степеней, что также можно рассматривать как сумму кубов:

\[a^5 + 32b^5 = a^5 + (2b)^5 = a^5 + (2b)^3 \cdot (2b)^2.\]

Теперь мы можем использовать формулу для суммы кубов:

\[a^5 + (2b)^3 \cdot (2b)^2 = (a + 2b)(a^4 - a^3 \cdot 2b + a^2 \cdot (2b)^2 - a \cdot (2b)^3 + (2b)^4).\]

Таким образом, мы разложили данные выражения на множители.