Question

Розв'язати кубічне рівняння х^3 - 6x^2+9x+3 = 0

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Звісно, я вам допоможу розв'язати кубічне рівняння \(x^3 - 6x^2 + 9x + 3 = 0\).

Щоб розв'язати це рівняння, використаємо кілька кроків:

1. Знайдемо раціональний корінь, використовуючи раціональний кореневий теорему.

Раціональні корені цього рівняння можна знайти, використовуючи раціональний кореневий теорему. Згідно з цією теоремою, всі раціональні корені рівняння \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) мають вигляд \(\pm \dfrac{p}{q}\), де \(p\) - множник вільного члена \(d\), а \(q\) - множник коефіцієнта \(a\).

У нашому випадку \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\), і \(d = 3\). Знаходимо всі можливі комбінації дільників числа 3 та 1, і перевіряємо їх за допомогою раціонального кореневого теореми.

Можливі значення \(p\) та \(q\) для раціональних коренів:

- \(p = \pm 1, \pm 3\) - \(q = \pm 1\)

Отже, можливі раціональні корені: \(x = \pm 1, \pm 3\).

2. Використаємо знайдені корені для поділу на множники.

Перевіримо, якщо раціональні корені \(x_1 = 1\) та \(x_2 = 3\) є коренями рівняння. Підставимо їх у рівняння та перевіримо, чи дорівнює вираз нулю.

Підставимо \(x = 1\):

\[ (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 3 = 1 - 6 + 9 + 3 = 7 \neq 0 \]

Підставимо \(x = 3\):

\[ (3)^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 3 = 27 - 54 + 27 + 3 = 3 \neq 0 \]

Отже, ні одне зі значень не є коренем рівняння. Однак ми можемо використовувати ці значення для поділу на множники.

3. Використаємо синтетичний поділ на множники.

Розділімо \(x^3 - 6x^2 + 9x + 3\) на \((x - 1)\) та \((x - 3)\) за допомогою синтетичного поділу:

\[ \begin{align*} &\underline{x^2 - 5x + 3} \\ x - 1 &| x^3 - 6x^2 + 9x + 3 \\ &\phantom{|}\underline{- x^3 + x^2} \\ &-7x^2 + 9x \\ &\phantom{|}\underline{+7x^2 - 7x} \\ &2x + 3 \\ &\phantom{|}\underline{-2x - 2} \\ &1 \end{align*} \]

Отже, ми маємо множники \((x - 1)(x^2 - 5x + 3)\).

4. Розв'яжемо квадратне рівняння \(x^2 - 5x + 3 = 0\).

Тепер ми маємо рівняння \(x^2 - 5x + 3 = 0\), яке є квадратним. Ми можемо вирішити його за допомогою квадратного рівняння:

\[x^2 - 5x + 3 = 0\]

Застосуємо квадратну формулу:

\[x = \dfrac{5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 3}}{2}\]

\[x = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{2}\]

\[x = \dfrac{5 \pm \sqrt{13}}{2}\]

Таким чином, рішення кубічного рівняння \(x^3 - 6x^2 + 9x + 3 = 0\) складається з трьох коренів:

\[x_1 = 1\] \[x_2 = \dfrac{5 + \sqrt{13}}{2}\] \[x_3 = \dfrac{5 - \sqrt{13}}{2}\]

Це є повним розв'язком заданого кубічного рівняння.