Question

1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса: . х+у-3z=0 ; 3x+2y+2z=-1; x-y+5z=-2

Answer 1

записывают расширенную матрицу:

1  1 -3 I 0

3  2  2 I -1

1 -1  5 I -2

умножаем первую строку на (-3) и прибавляем ко второй и умножаем первую строку на (-1) и прибавляем  к третьей. получаем:

 

1  1 -3  I 0

0 -1 11 I -1

0 -2  8  I-2

 

умножаем вторую строку на (-2) и прибавляем к третьей. получаем:

 

1  1 -3  I 0

0 -1 11 I -1

0  0 -14 I0

 

 переписываем ввиде системы:

x+y-3z=0

-y+11z=-1 

-14z=0

 

Получается:

z=0

y=1

x=-1 

 Ответ:  x=-1,  y=1,  z=0

 

Answer 2

Конечно, систему линейных уравнений можно решить методом Гаусса. Начнем с записи системы:

1) \( x + y - 3z = 0 \) 2) \( 3x + 2y + 2z = -1 \) 3) \( x - y + 5z = -2 \)

Метод Гаусса позволяет преобразовать систему уравнений путем элементарных операций над строками матрицы системы. Наша цель — привести систему к упрощенному виду, чтобы выразить значения переменных.

Первым шагом обычно выражают переменную из первого уравнения и затем подставляют ее в последующие уравнения для постепенного избавления от переменных. Давайте начнем:

1) \( x + y - 3z = 0 \) 2) \( 3x + 2y + 2z = -1 \) 3) \( x - y + 5z = -2 \)

Шаг 1: Выразим \( x \) из первого уравнения:

\( x = -y + 3z \)

Подставим \( x \) во второе и третье уравнения:

2) \( 3(-y + 3z) + 2y + 2z = -1 \) 3) \( (-y + 3z) - y + 5z = -2 \)

Раскроем скобки:

2) \( -3y + 9z + 2y + 2z = -1 \) 3) \( -2y + 8z = -2 \)

Теперь можем выразить \( y \) из третьего уравнения:

\( y = 4z - 1 \)

Подставим это значение \( y \) во второе уравнение:

2) \( -3(4z - 1) + 9z + 2z = -1 \) 2) \( -12z + 3 + 9z + 2z = -1 \) 2) \( -12z + 11z = -1 + 3 \) 2) \( -z = 2 \)

Отсюда получаем \( z = -2 \).

Теперь, когда у нас есть значение \( z \), можем найти \( y \):

\( y = 4z - 1 = 4*(-2) - 1 = -8 - 1 = -9 \)

И наконец, найдем \( x \) с использованием одного из начальных уравнений:

\( x = -y + 3z = -(-9) + 3*(-2) = 9 - 6 = 3 \)

Итак, решение системы уравнений методом Гаусса: \( x = 3, y = -9, z = -2 \).