Question

В параллелограмме АВСD проведена высота СD (Н принадлежит AD) в 2 раза меньше стороны DC. Найти углы параллелограмма.

Answer 1

решение задания смотри на фото

Answer 2

Пусть сторона DC равна x. Тогда высота CD будет равна x/2.

Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то сторона AB также равна x.

Рассмотрим треугольник ACD. В нем высота CD является медианой, а также биссектрисой угла ADC. Значит, треугольник ACD является равнобедренным.

Из равнобедренности треугольника ACD следует, что угол ACD равен углу ADC. Обозначим этот угол через α.

Так как у треугольника ADC сумма углов равна 180°, то угол ACD равен (180° - α)/2 = 90° - α/2.

Также из равнобедренности треугольника ACD следует, что угол CAD равен углу CDA. Обозначим этот угол через β.

Тогда угол CDA равен (180° - β)/2 = 90° - β/2.

Так как у параллелограмма ABCD сумма углов равна 360°, то угол BCD равен 360° - 2(90° - β/2) - 2(90° - α/2) = 360° - 180° + β - α = 180° + β - α.

Также у параллелограмма ABCD углы BCD и CDA являются смежными, значит, их сумма равна 180°. Получаем уравнение:

180° + β - α + 90° - β/2 = 180°.

Упрощаем уравнение:

90° - α + β/2 = 0.

Отсюда получаем, что β = 2α.

Таким образом, углы параллелограмма ABCD равны: α, α, 2α, 2α.