Question

Интегралы. Первообразная. 1.Найдите площадь фигуры y=x-2 y=x^2-4x+2 2.Найдите площадь фигуры y=x^2-6x+9 y=(x+1)(3-x)

Answer 1

Решение задания на фото

Answer 2

Интегралы и первообразная

Интегралы являются одним из основных понятий математического анализа. Они позволяют находить площади под кривыми, вычислять суммы, определять среднее значение функции и решать множество других задач. Центральным понятием в теории интегралов является понятие первообразной функции.

Первообразная функции

Первообразная функции — это функция, производная которой равна заданной функции. Если f(x) — функция, то F(x) называется первообразной функции f(x), если F'(x) = f(x). Здесь F'(x) обозначает производную от функции F(x).

1. Найти площадь фигуры: y = x - 2 и y = x^2 - 4x + 2

Для нахождения площади фигуры ограниченной двумя кривыми, нужно вычислить разность интегралов функций, задающих эти кривые, в пределах области.

Для начала найдем точки пересечения двух кривых, чтобы определить пределы интегрирования.

x - 2 = x^2 - 4x + 2

Перепишем это уравнение в стандартной форме:

x^2 - 5x + 4 = 0

Факторизуем его:

(x - 1)(x - 4) = 0

Таким образом, точки пересечения равны x = 1 и x = 4.

Площадь фигуры можно найти по формуле:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

где f(x) и g(x) - функции, ограничивающие фигуру, [a,b] - интервал, на котором они определены.

Таким образом, площадь фигуры равна:

S = ∫[1,4] ((x^2 - 4x + 2) - (x - 2)) dx

Выполним расчеты:

S = ∫[1,4] (x^2 - 5x + 4) dx

S = [(x^3/3) - (5x^2/2) + 4x] [1,4]

S = [(4^3/3) - (5*4^2/2) + 4*4] - [(1^3/3) - (5*1^2/2) + 4*1]

S = (64/3) - (80/2) + 16 - (1/3) + (5/2) + 4

S = 64/3 - 40 + 16 - 1/3 + 5/2 + 4

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x - 2 и y = x^2 - 4x + 2, равна (64/3) - 40 + 16 - 1/3 + 5/2 + 4.

2. Найти площадь фигуры: y = x^2 - 6x + 9 и y = (x + 1)(3 - x)

Аналогично предыдущему примеру, найдем точки пересечения двух кривых, чтобы определить пределы интегрирования.

x^2 - 6x + 9 = (x + 1)(3 - x)

Перепишем это уравнение в стандартной форме:

x^2 - 6x + 9 = 3x + 3 - x^2 - x

2x^2 - 2x + 6 = 0

x^2 - x + 3 = 0

Дискриминант этого уравнения отрицательный, что означает, что кривые не пересекаются.

Таким образом, площадь фигуры ограниченной этими двумя кривыми равна нулю.

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 - 6x + 9 и y = (x + 1)(3 - x), равна нулю.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.