Question

Интеграл от 0 до P/2 8sin2xdx ПОМОГИТЕ вычислить интеграл!)ДАЮ 15 БАЛЛОВ

Answer 1

$\displaystyle \int \limits_0^{\tfrac{\pi}{2}} 8\sin 2x\, dx=\\ 8\int \limits_0^{\tfrac{\pi}{2}} \sin 2x\, dx=\\ 8\left[-\dfrac{\cos 2x}{2}\right]_0^{\tfrac{\pi}{2}}=\\ 8\left(-\dfrac{\cos \left(2\cdot\dfrac{\pi}{2}\right)}{2}-\left(-\dfrac{\cos (2\cdot0)}{2}\right)\right)= \\ 8\left(-\dfrac{\cos \pi }{2}+\dfrac{\cos 0 }{2}\right)= \\ 8\left(-\dfrac{-1 }{2}+\dfrac{1}{2}\right)= \\ 8\cdot1=\\ 8$

Answer 2

Я могу помочь вам вычислить интеграл от 0 до P/2 8sin2xdx. Для этого я буду использовать следующие шаги:

- Первым шагом является применение тригонометрической формулы sin2x = (1 - cos2x) / 2. Тогда интеграл преобразуется к виду:

∫0P/28sin2xdx = 4∫0P/2(1 - cos2x)dx

- Вторым шагом является разбиение интеграла на два слагаемых и вынесение констант за знак интеграла:

4∫0P/2(1 - cos2x)dx = 4∫0P/21dx - 4∫0P/2cos2xdx

- Третьим шагом является нахождение неопределенных интегралов для каждого слагаемого. Для этого я использую следующие формулы:

∫1dx = x + C

∫cos2xdx = sin2x / 2 + C

- Четвертым шагом является подстановка пределов интегрирования и вычисление разности значений функций в этих точках. Для этого я использую формулу Ньютона-Лейбница:

∫abf(x)dx = F(b) - F(a)

- Пятым шагом является подстановка полученных выражений для неопределенных интегралов и упрощение результата. Для этого я использую следующие значения:

sin0 = 0

sinP/2 = 1

cos0 = 1

cosP/2 = 0

Тогда получаем:

4∫0P/21dx - 4∫0P/2cos2xdx = 4(x + C)|0P/2 - 4(sin2x / 2 + C)|0P/2

= 4(P/2 + C - 0 - C) - 4(sinP + C - sin0 - C)

= 4P/2 - 4(1 - 0)

= 2P - 4

- Шестым и последним шагом является запись окончательного ответа:

∫0P/28sin2xdx = 2P - 4

Надеюсь, что это было полезно для вас. Если у вас есть другие вопросы по математике, я буду рад помочь.