Question

Докажите, что выражение (1/1+tg(a) + 0,5tg(2a))*(cos(a)^2 - 1/2) больше нуля при любом значении (а)

Answer 1

Множитель (cos(a)^2 - 1/2) меняется от -1/2 до +1/2
И через ноль тоже проходит. Так что всё выражение в целом меняет свой знак, и утверждение о его положительности неверно.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное выражение и попробуем убедиться, что оно больше нуля для любого значения \(a\).

Выражение:

\[ \left( \frac{1}{1 + \tan(a)} + 0.5 \tan(2a) \right) \cdot \left( \cos(a)^2 - \frac{1}{2} \right) \]

Обозначим первую скобку за \(X\) и вторую за \(Y\):

\[ X = \frac{1}{1 + \tan(a)} + 0.5 \tan(2a) \] \[ Y = \cos(a)^2 - \frac{1}{2} \]

Теперь наша задача - доказать, что \(X \cdot Y > 0\) для любого значения \(a\).

Рассмотрим случай, когда \(X > 0\) и \(Y > 0\):

1. \(X > 0\): - \(\frac{1}{1 + \tan(a)} > -0.5 \tan(2a)\) (так как \(0.5 \tan(2a)\) всегда положительно). - Умножим обе стороны на \(1 + \tan(a)\), получим: \(1 > -0.5 \tan(2a)(1 + \tan(a))\). - Следовательно, \(1 + 0.5 \tan(2a)(1 + \tan(a)) > 0\), и так как \(1 + \tan(a) > 0\), то \(X > 0\).

2. \(Y > 0\): - \(\cos(a)^2 > \frac{1}{2}\). - Это верно для всех значений \(a\), так как квадрат косинуса всегда находится в интервале \([0, 1]\).

Теперь рассмотрим случай, когда \(X < 0\) и \(Y < 0\):

1. \(X < 0\): - \(\frac{1}{1 + \tan(a)} < -0.5 \tan(2a)\). - Умножим обе стороны на \(1 + \tan(a)\), получим: \(1 < -0.5 \tan(2a)(1 + \tan(a))\). - Следовательно, \(1 + 0.5 \tan(2a)(1 + \tan(a)) < 0\), и так как \(1 + \tan(a) > 0\), то \(X < 0\).

2. \(Y < 0\): - \(\cos(a)^2 < \frac{1}{2}\). - Это верно для всех значений \(a\), так как квадрат косинуса всегда находится в интервале \([0, 1]\).

Таким образом, мы видим, что при любом значении \(a\) либо \(X > 0\) и \(Y > 0\), либо \(X < 0\) и \(Y < 0\). В обоих случаях произведение \(X \cdot Y\) будет положительным числом. Таким образом, данное выражение больше нуля при любом значении \(a\).