Question

Докажите, что если n - натуральное число, то n^2+n+4 не делится на 11

Answer 1

Непосредственной прверкой убеждаемся, что утверждение верно для всех n от  0 до 10 (0-число не натуральное, но проверка нам пригодится дальше). (числа 4,6,10,16,24,34,46,60,76,94 на 11 не делятся)
число представим в виде n*(n+1)+4=Н
Пусть  n=11к+м
где м меньше 11 и больше  либо равно  0, а к любое целое. Понятно , что любое число больше 10 можно представить в таком виде.

Н=121к*к+11к*(2м+1)+м*(м+1)+4

Н  может делиться на 11, только если
 м*(м+1)+4
делится на 11, но для всех м меньше 11 мы уже проверили, что этого быть не может.

 

Answer 2

Доказательство того, что если n - натуральное число, то n^2 + n + 4 не делится на 11

Возьмем любое натуральное число n. Рассмотрим остаток от деления суммы n^2 + n + 4 на 11.

Для любого натурального числа n остаток от деления n на 11 будет равен 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 или 10.

Остатки от деления квадратов этих чисел на 11 равны соответственно 0, 1, 4, 9, 5, 6, 7, 8, 3, 2.

Следовательно, сумма остатков от деления n^2 и n на 11 может принимать только значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Прибавив к этой сумме 4, мы получим остатки от деления суммы n^2 + n + 4 на 11, равные 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

Ни одно из этих значений не равно нулю.

Следовательно, для любого натурального числа n выражение n^2 + n + 4 не делится на 11.