Question

Найти экстремумы функции f(x)= ln x/ x

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции f(x) = ln(x) / x, мы должны найти ее критические точки, то есть точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Затем мы проверим значения функции в этих точках, чтобы определить, являются ли они локальными максимумами или минимумами.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции f(x) = ln(x) / x.

Применяя правило дифференцирования частного и правило дифференцирования логарифма, получаем:

f'(x) = (1 - ln(x)) / x^2

Нахождение критических точек

Чтобы найти критические точки функции f(x), мы приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

(1 - ln(x)) / x^2 = 0

Уравнение будет равно нулю только тогда, когда числитель равен нулю:

1 - ln(x) = 0

ln(x) = 1

Применяя обратную функцию экспоненты, получаем:

x = e

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = e.

Анализ экстремумов

Теперь мы проверим значения функции в найденной критической точке x = e и на границах области определения функции.

1. Границы области определения: Функция f(x) = ln(x) / x определена для всех положительных значений x, то есть x > 0. Однако, так как логарифм единицы равен нулю, мы можем рассмотреть поведение функции только для x > 1.

2. Критическая точка x = e: Вычислим значение функции в этой точке: f(e) = ln(e) / e = 1 / e

Выводы

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = e. Мы также заметили, что функция f(x) = ln(x) / x определена только для x > 0. Отсюда следует, что мы можем рассмотреть поведение функции только для x > 1.

Исходя из этого, мы можем сделать следующие выводы:

- Функция f(x) = ln(x) / x не имеет локальных максимумов или минимумов на интервале (0, 1). - В точке x = e функция имеет локальный минимум, значение которого равно 1 / e. - Функция убывает на интервале (1, +∞), что можно увидеть, рассмотрев знак производной.

Примечание: Если вам нужно найти глобальные экстремумы функции, вам нужно будет рассмотреть ее поведение на всей области определения, а не только на интервале x > 1.